Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2021 (grilă)

Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2021 (grilă)

Nivel introductiv

E.91. Suma a două numere naturale este 154154. Dacă micșorăm primul număr de 33 ori și pe al doilea cu 4, suma numerelor obținute este 66. Atunci restul împărțirii diferenței celor două numere la 1515 este egal cu:

a) 66

b) 77

c) 88

d) 99

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#1)
Răspuns | Soluție

Răspuns: c) 88

Soluție:

Fie xx și yy cele două numere:

{x+y=154 (1)(x:3)+(y−4)=66 (2) \begin{cases} x+y=154 \nobreakspace \textcolor{red}{(1)} \\ (x:3) + (y-4)=66 \nobreakspace \textcolor{red}{(2)} \end{cases}

Din (22) avem:

x:3=70−y⇒x=210−3y (3) \begin{aligned} &x:3=70-y \textcolor{red}{\Rightarrow} x=210-3y \nobreakspace \textcolor{red}{(3)} \end{aligned}

Înlocuim pe xx în (11):

210−3y+4=154⇒y=28 \begin{aligned} &210-3y+4=154 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{y=28} \end{aligned}

Revenind la (33):

x=210−3⋅28⇒x=126 \begin{aligned} &x=210-3 \cdot 28 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{x=126} \end{aligned}

În final:

x−y=126−28=9898=6⋅15+8 \begin{aligned} &x-y=126-28=98 \\ &98=6 \cdot 15+8 \end{aligned}

Deci restul împărțirii lui 9898 la 1515 este 88.

E.92. Suma a 33 numere naturale este 20212021. Al doilea număr este triplul primului, iar al treilea este cu 55 mai mare decât diferența primelor două. Atunci ultima cifră a produsului celor 33 numere este egală cu:

a) 66

b) 44

c) −-

d) 88

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#2)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 66

Soluție:

Fie xx, yy, zz cele 33 numere:

{x+y+z=2021 (1)y=3⋅x (2)z=5+(y−x) \begin{cases} x+y+z=2021 \nobreakspace \textcolor{red}{(1)} \\ y=3 \cdot x \nobreakspace \textcolor{red}{(2)} \\ z=5+(y-x) \end{cases}

Înlocuim pe zz în (11):

x+y+5+y−x=2021⇒y=1008 \begin{aligned} &\cancel{x}+y+5+y-\cancel{x}=2021 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{y=1008} \end{aligned}

Înlocuim pe yy în (22):

1008=3⋅x⇒x=336 \begin{aligned} &1008 = 3 \cdot x \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{x=336} \end{aligned}

Înlocuim pe xx și yy în (11):

336+1008+z=2021⇒z=677 \begin{aligned} &336+1008+z=2021 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{z=677} \end{aligned}

Uc( x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z) = Uc( 6⋅8⋅76 \cdot 8 \cdot 7) = 66.

E.93. Numărul numerelor naturale, scrise în baza 1010 cu 33 cifre, care, în baza 22, se scriu numai cu cifre de 11, este egal cu:

a) 22

b) 33

c) 44

d) 55

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#3)
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) 33

Soluție:

Dacă numerele în baza 22 se scriu numai cu cifre de 11, atunci ele vor fi de forma:

abc‾=Sn=20+21+22+⋯+2n,n∈N \begin{aligned} \overline{abc} = S_n =2^0+2^1+2^2+ \dots + 2^n, n \in \N \end{aligned}

Pentru a calcula această sumă putem folosi tehnica "2Sn−Sn2S_n - S_n", sau putem folosi direct următorul rezultat:

Sn=20+21+22+⋯+2n=2n+1−1 \begin{aligned} \boxed{S_n = 2^0+2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-1} \end{aligned}

Cum numerele noastre au 33 cifre, punem condiția:

100≤2n+1−1≤999∣+1101≤2n+1≤10007≤n+1≤9∣−16≤n≤8 \begin{aligned} &100 \leq 2^{n+1}-1 \leq 999 \quad | +1 \\ &101 \leq 2^{n+1} \leq 1000 \\ &7 \leq {n+1} \leq 9 \quad |-1 \\ &6 \leq n \leq 8 \end{aligned}

Deci vom avea 33 numere: S6S_6, S7S_7, S8S_8.

E.94. Biletele de intrare la un muzeu costă 1212 lei pentru un adult și 88 lei pentru un copil. Într-un weekend s-au vândut în total 240240 de bilete și s-au încasat 20802080 lei. Suma încasată pentru biletele de adulți este egală cu:

a) 360360

b) 480480

c) 600600

d) 240240

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#4)
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) 480480

Soluție:

Fie aa și cc - numărul de bilete vândute pentru adulți, respectiv copii:

{a+c=24012a+8c=2080 (1) \begin{cases} a+c=240 \\ 12 a + 8c = 2080 \nobreakspace \textcolor{red}{(1)} \end{cases}

Din (11) avem:

4a+8(a+c)=20804a+8⋅240=2080⇒a=40 \begin{aligned} &4a+8(a+c) = 2080 \\ &4a+8 \cdot 240 = 2080 \textcolor{red}{\Rightarrow} a=40 \end{aligned}

Suma încasată pentru adulți:

S=40⋅12=480 lei. \begin{aligned} S = 40 \cdot 12 = 480 \space lei. \end{aligned}

E.95. Se dă numărul a=22020+22021.a = 2^{2020} + 2^{2021}. Restul împărțirii lui aa la 77 este egal cu:

a) 33

b) 44

c) 55

d) 66

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#5)
Răspuns | Soluție

Răspuns: d) 66

Soluție:

Folosim formula: (Ma+1)n=Ma+1\boxed{(M_a + 1)^n = M_a+1}

a=22020(1+2)=22020(7−4)==7⋅22020−22022=M7−(23)674==M7−(7+1)647=M7−(M7+1)==M7−1=M7−7+6=M7+6. \begin{aligned} a &=2^{2020}(1+2) = 2^{2020}(7-4) =\\ &= 7\cdot 2^{2020} - 2^{2022} = M_7 - (2^3)^{674} = \\ &= M_7 - (7+1)^{647} =M_7 - (M_7 + 1) =\\ &= M_7 - 1 = M_7 -7 + 6 = M7 + 6. \end{aligned}

Deci restul impărțirii lui aa la 77 este 66.

E.96. Se dau numerele:

a=21⋅22⋅23⋅ … ⋅213,a=41⋅42⋅43⋅ … ⋅413,a=81⋅82⋅83⋅ … ⋅813,a=161⋅162⋅163⋅ … ⋅1613. \begin{aligned} &a=2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 2^{13}, \\ &a=4^1 \cdot 4^2 \cdot 4^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 4^{13}, \\ &a=8^1 \cdot 8^2 \cdot 8^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 8^{13}, \\ &a=16^1 \cdot 16^2 \cdot 16^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 16^{13}. \\ \end{aligned}

Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

a) a<b<c<da<b<c<d

b) d<c<b<ad<c<b<a

c) a<b<d<ca<b<d<c

d) d<b<c<ad<b<c<a

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#6)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) a<b<c<da<b<c<d

Soluție:

Aducem numerele la aceeași bază:

a=21+2+3+…+13=2Sa,b=22⋅1+2⋅3+2⋅5…+2⋅13=2Sb,c=23⋅1+3⋅4+3⋅7…+3⋅13=2Sc,d=24⋅1+4⋅5+4⋅9…+4⋅13=2Sd. \begin{aligned} &a=2^{1+2+3+ \ldots +13} = 2^{S_a}, \\ &b=2^{2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 \ldots + 2 \cdot 13} = 2^{S_b}, \\ &c=2^{3 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 7 \ldots + 3 \cdot 13} = 2^{S_c}, \\ &d=2^{4 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 9 \ldots + 4 \cdot 13} = 2^{S_d}. \\ \end{aligned}

Având puțini termeni, alegem să calculăm sumele SbS_b, ScS_c și SdS_d prin gruparea numerelor de la extremități:

Sa=1+2+3+…+13=13⋅7Sb=2(1+3+5+7+9+11+13)=2(3⋅14+7)=2⋅7⋅7=14⋅7Sc=3(1+4+7+10+13)=3(2⋅14+7)=3⋅5⋅7=15⋅7Sd=4(1+5+9+13)=4(2⋅14)=4⋅4⋅7=16⋅7 \begin{aligned} S_a & = 1+2+3+ \ldots +13 = \boxed{13 \cdot 7} \\ S_b &= 2(1+3+5+\textcolor{red}{\boxed{7}}+9+11+13) \\ &= 2(3 \cdot 14 + 7) = 2 \cdot 7 \cdot 7 = \boxed{14 \cdot 7}\\ S_c &= 3(1+4+ \textcolor{red}{\boxed{7}} +10+13) \\ &= 3(2 \cdot 14 + 7) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = \boxed{15 \cdot 7}\\ S_d &= 4(1+5+9+13) \\ &= 4(2 \cdot 14) = 4 \cdot 4 \cdot 7 = \boxed{16 \cdot 7} \end{aligned}

Cum Sa<Sb<Sc<Sd⇒a<b<c<d.S_a<S_b<S_c<S_d \textcolor{red}{\Rightarrow} a<b<c<d.

E.97. Se dă numărul n=22021⋅52022−2021.n=2^{2021} \cdot 5^{2022} - 2021. Suma cifrelor numărului nn este egală cu:

a) 1818018180

b) 1818918189

c) 1818918189

d) 1817118171

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#7)
Răspuns | Soluție

Răspuns: c) 1818918189

Soluție:

n=22021⋅52021⋅5−2021=5⋅102021−2021.n=2^{2021} \cdot 5^{2021} \cdot 5 - 2021 = 5\cdot 10^{2021}-2021.

500…00000⏞2021 de 0 −2021499…9⏟2017 de 97979 \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c} \begin{aligned} 5\overbrace{00 \ldots 00000}^{\text{2021 de 0}}& \space - \\ 2021& \\ \hline 4\underbrace{99 \ldots 9}_{\text{2017 de 9}}7979& \end{aligned} \\ \end{array}

Suma cifrelor numărului nn este 4+2017⋅9+32=18189.4+2017 \cdot 9 + 32 = 18189.

E.98. Numărul numerelor naturale nenule care, împărțite la 1212, dau câtul egal cu jumătate din rest, este egal cu:

a) 55

b) 66

c) 77

d) 1212

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#8)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 55

Soluție:

Conform T.I.R., numerele noastre (AiA_i) ar fi de forma:

Ai=12⋅c+r,unde c,r∈N, r<12 \begin{aligned} A_i = 12 \cdot c + r, \textsf{unde} \space c, r \in \N, \space r<12 \end{aligned}

Cum c=r2⇒Ai=12⋅r2+r=7⋅rc=\dfrac{r}{2} \textcolor{red}{\Rightarrow} A_i = 12 \cdot \dfrac{r}{2} + r = 7 \cdot r

∙ r=0\hspace*{2em}\bullet \space r=0 - nu convine (Ai≠0A_i \not= 0)
∙ r>11\hspace*{2em}\bullet \space r \gt 11 - nu convine (T.I.R.)
∙ r\hspace*{2em}\bullet \space r impar - nu convine (c∈Nc \in \N)

Rămân soluțiile: r∈{2,4,6,8,10}.r \in \{2,4,6,8,10\}. Deci numărul cerut este egal cu 55.

E.99. Un număr scris în baza 1010 se numește "norocos" dacă este de 1313 ori mai mare decât suma cifrelor sale. Suma numerelor "norocoase" de 33 cifre este egală cu:

a) 351351

b) 273273

c) 312312

d) 468468

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#9)
Răspuns | Soluție

Răspuns: d) 468468

Soluție:

abc‾\overline{abc} este norocos ⇒abc‾=13(a+b+c).\textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{abc} = 13(a+b+c).

100a+10b+c=13a+13b+13c87a=3b+12c∣:329a=b+4c (1) \begin{aligned} &100a+10b+c = 13a+13b+13c \\ &87a = 3b+12c \quad |:3 \\ &29a = b+4c \space \textcolor{red}{(1)} \end{aligned}

Dar bb și cc sunt cifre ⇒b+4c≤9+4⋅9=45\textcolor{red}{\Rightarrow} b+4c \leq 9+4 \cdot 9 = 45

29a≤45⇒a<2Dar a≠0}⇒a=1 \begin{rcases} 29a \leq 45 \textcolor{red}{\Rightarrow} a \lt 2 \\ \text{Dar} \space a \not=0 \\ \end{rcases} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=1}

Relația (1) devine: 29=b+4c29=b+4c

∙ c∈{0,1,2,3,4}\hspace*{2em}\bullet \space c \in \{0,1,2,3,4\} - nu convine (prea mic)
∙ c=5⇒b=9\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{c = 5} \Rightarrow \boxed{b=9}
∙ c=6⇒b=5\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{c = 6} \Rightarrow \boxed{b=5}
∙ c=7⇒b=1\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{c = 7} \Rightarrow \boxed{b=1}
∙ c∈{8,9}\hspace*{2em}\bullet \space c \in \{8,9\} - nu convine (prea mare}

Suma cerută este: 195+156+117=468.195+156+117=468.