Exercițiul 98

E.98. Numărul numerelor naturale nenule care, împărțite la 1212, dau câtul egal cu jumătate din rest, este egal cu:

a) 55

b) 66

c) 77

d) 1212

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#8)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 55

Soluție:

Conform T.I.R., numerele noastre (AiA_i) ar fi de forma:

Ai=12⋅c+r,unde c,r∈N, r<12 \begin{aligned} A_i = 12 \cdot c + r, \textsf{unde} \space c, r \in \N, \space r<12 \end{aligned}

Cum c=r2⇒Ai=12⋅r2+r=7⋅rc=\dfrac{r}{2} \textcolor{red}{\Rightarrow} A_i = 12 \cdot \dfrac{r}{2} + r = 7 \cdot r

∙ r=0\hspace*{2em}\bullet \space r=0 - nu convine (Ai≠0A_i \not= 0)
∙ r>11\hspace*{2em}\bullet \space r \gt 11 - nu convine (T.I.R.)
∙ r\hspace*{2em}\bullet \space r impar - nu convine (c∈Nc \in \N)

Rămân soluțiile: r∈{2,4,6,8,10}.r \in \{2,4,6,8,10\}. Deci numărul cerut este egal cu 55.