Exercițiul 99

E.99. Un număr scris în baza 1010 se numește "norocos" dacă este de 1313 ori mai mare decât suma cifrelor sale. Suma numerelor "norocoase" de 33 cifre este egală cu:

a) 351351

b) 273273

c) 312312

d) 468468

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#9)
Răspuns | Soluție

Răspuns: d) 468468

Soluție:

abc‾\overline{abc} este norocos ⇒abc‾=13(a+b+c).\textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{abc} = 13(a+b+c).

100a+10b+c=13a+13b+13c87a=3b+12c∣:329a=b+4c (1) \begin{aligned} &100a+10b+c = 13a+13b+13c \\ &87a = 3b+12c \quad |:3 \\ &29a = b+4c \space \textcolor{red}{(1)} \end{aligned}

Dar bb și cc sunt cifre ⇒b+4c≤9+4⋅9=45\textcolor{red}{\Rightarrow} b+4c \leq 9+4 \cdot 9 = 45

29a≤45⇒a<2Dar a≠0}⇒a=1 \begin{rcases} 29a \leq 45 \textcolor{red}{\Rightarrow} a \lt 2 \\ \text{Dar} \space a \not=0 \\ \end{rcases} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=1}

Relația (1) devine: 29=b+4c29=b+4c

∙ c∈{0,1,2,3,4}\hspace*{2em}\bullet \space c \in \{0,1,2,3,4\} - nu convine (prea mic)
∙ c=5⇒b=9\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{c = 5} \Rightarrow \boxed{b=9}
∙ c=6⇒b=5\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{c = 6} \Rightarrow \boxed{b=5}
∙ c=7⇒b=1\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{c = 7} \Rightarrow \boxed{b=1}
∙ c∈{8,9}\hspace*{2em}\bullet \space c \in \{8,9\} - nu convine (prea mare}

Suma cerută este: 195+156+117=468.195+156+117=468.