Exercițiul 96

E.96. Se dau numerele:

a=21⋅22⋅23⋅ … ⋅213,a=41⋅42⋅43⋅ … ⋅413,a=81⋅82⋅83⋅ … ⋅813,a=161⋅162⋅163⋅ … ⋅1613. \begin{aligned} &a=2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 2^{13}, \\ &a=4^1 \cdot 4^2 \cdot 4^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 4^{13}, \\ &a=8^1 \cdot 8^2 \cdot 8^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 8^{13}, \\ &a=16^1 \cdot 16^2 \cdot 16^3 \cdot \space \ldots \space \cdot 16^{13}. \\ \end{aligned}

Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

a) a<b<c<da<b<c<d

b) d<c<b<ad<c<b<a

c) a<b<d<ca<b<d<c

d) d<b<c<ad<b<c<a

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#6)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) a<b<c<da<b<c<d

Soluție:

Aducem numerele la aceeași bază:

a=21+2+3+…+13=2Sa,b=22⋅1+2⋅3+2⋅5…+2⋅13=2Sb,c=23⋅1+3⋅4+3⋅7…+3⋅13=2Sc,d=24⋅1+4⋅5+4⋅9…+4⋅13=2Sd. \begin{aligned} &a=2^{1+2+3+ \ldots +13} = 2^{S_a}, \\ &b=2^{2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 \ldots + 2 \cdot 13} = 2^{S_b}, \\ &c=2^{3 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 7 \ldots + 3 \cdot 13} = 2^{S_c}, \\ &d=2^{4 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 9 \ldots + 4 \cdot 13} = 2^{S_d}. \\ \end{aligned}

Având puțini termeni, alegem să calculăm sumele SbS_b, ScS_c și SdS_d prin gruparea numerelor de la extremități:

Sa=1+2+3+…+13=13⋅7Sb=2(1+3+5+7+9+11+13)=2(3⋅14+7)=2⋅7⋅7=14⋅7Sc=3(1+4+7+10+13)=3(2⋅14+7)=3⋅5⋅7=15⋅7Sd=4(1+5+9+13)=4(2⋅14)=4⋅4⋅7=16⋅7 \begin{aligned} S_a & = 1+2+3+ \ldots +13 = \boxed{13 \cdot 7} \\ S_b &= 2(1+3+5+\textcolor{red}{\boxed{7}}+9+11+13) \\ &= 2(3 \cdot 14 + 7) = 2 \cdot 7 \cdot 7 = \boxed{14 \cdot 7}\\ S_c &= 3(1+4+ \textcolor{red}{\boxed{7}} +10+13) \\ &= 3(2 \cdot 14 + 7) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = \boxed{15 \cdot 7}\\ S_d &= 4(1+5+9+13) \\ &= 4(2 \cdot 14) = 4 \cdot 4 \cdot 7 = \boxed{16 \cdot 7} \end{aligned}

Cum Sa<Sb<Sc<Sd⇒a<b<c<d.S_a<S_b<S_c<S_d \textcolor{red}{\Rightarrow} a<b<c<d.