Exercițiul 93

E.93. Numărul numerelor naturale, scrise în baza 1010 cu 33 cifre, care, în baza 22, se scriu numai cu cifre de 11, este egal cu:

a) 22

b) 33

c) 44

d) 55

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#3)
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) 33

Soluție:

Dacă numerele în baza 22 se scriu numai cu cifre de 11, atunci ele vor fi de forma:

abc‾=Sn=20+21+22+⋯+2n,n∈N \begin{aligned} \overline{abc} = S_n =2^0+2^1+2^2+ \dots + 2^n, n \in \N \end{aligned}

Pentru a calcula această sumă putem folosi tehnica "2Sn−Sn2S_n - S_n", sau putem folosi direct următorul rezultat:

Sn=20+21+22+⋯+2n=2n+1−1 \begin{aligned} \boxed{S_n = 2^0+2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-1} \end{aligned}

Cum numerele noastre au 33 cifre, punem condiția:

100≤2n+1−1≤999∣+1101≤2n+1≤10007≤n+1≤9∣−16≤n≤8 \begin{aligned} &100 \leq 2^{n+1}-1 \leq 999 \quad | +1 \\ &101 \leq 2^{n+1} \leq 1000 \\ &7 \leq {n+1} \leq 9 \quad |-1 \\ &6 \leq n \leq 8 \end{aligned}

Deci vom avea 33 numere: S6S_6, S7S_7, S8S_8.