Exercițiul 91

E.91. Suma a două numere naturale este 154154. Dacă micșorăm primul număr de 33 ori și pe al doilea cu 4, suma numerelor obținute este 66. Atunci restul împărțirii diferenței celor două numere la 1515 este egal cu:

a) 66

b) 77

c) 88

d) 99

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#1)
Răspuns | Soluție

Răspuns: c) 88

Soluție:

Fie xx și yy cele două numere:

{x+y=154 (1)(x:3)+(y−4)=66 (2) \begin{cases} x+y=154 \nobreakspace \textcolor{red}{(1)} \\ (x:3) + (y-4)=66 \nobreakspace \textcolor{red}{(2)} \end{cases}

Din (22) avem:

x:3=70−y⇒x=210−3y (3) \begin{aligned} &x:3=70-y \textcolor{red}{\Rightarrow} x=210-3y \nobreakspace \textcolor{red}{(3)} \end{aligned}

Înlocuim pe xx în (11):

210−3y+4=154⇒y=28 \begin{aligned} &210-3y+4=154 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{y=28} \end{aligned}

Revenind la (33):

x=210−3⋅28⇒x=126 \begin{aligned} &x=210-3 \cdot 28 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{x=126} \end{aligned}

În final:

x−y=126−28=9898=6⋅15+8 \begin{aligned} &x-y=126-28=98 \\ &98=6 \cdot 15+8 \end{aligned}

Deci restul împărțirii lui 9898 la 1515 este 88.