Exercițiul 95

E.95. Se dă numărul a=22020+22021.a = 2^{2020} + 2^{2021}. Restul împărțirii lui aa la 77 este egal cu:

a) 33

b) 44

c) 55

d) 66

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#5)
Răspuns | Soluție

Răspuns: d) 66

Soluție:

Folosim formula: (Ma+1)n=Ma+1\boxed{(M_a + 1)^n = M_a+1}

a=22020(1+2)=22020(7−4)==7⋅22020−22022=M7−(23)674==M7−(7+1)647=M7−(M7+1)==M7−1=M7−7+6=M7+6. \begin{aligned} a &=2^{2020}(1+2) = 2^{2020}(7-4) =\\ &= 7\cdot 2^{2020} - 2^{2022} = M_7 - (2^3)^{674} = \\ &= M_7 - (7+1)^{647} =M_7 - (M_7 + 1) =\\ &= M_7 - 1 = M_7 -7 + 6 = M7 + 6. \end{aligned}

Deci restul impărțirii lui aa la 77 este 66.