Exercițiul 92

E.92. Suma a 33 numere naturale este 20212021. Al doilea număr este triplul primului, iar al treilea este cu 55 mai mare decât diferența primelor două. Atunci ultima cifră a produsului celor 33 numere este egală cu:

a) 66

b) 44

c) −-

d) 88

Olimpiadă, etapa 1, Prahova, 2021 (#2)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 66

Soluție:

Fie xx, yy, zz cele 33 numere:

{x+y+z=2021 (1)y=3⋅x (2)z=5+(y−x) \begin{cases} x+y+z=2021 \nobreakspace \textcolor{red}{(1)} \\ y=3 \cdot x \nobreakspace \textcolor{red}{(2)} \\ z=5+(y-x) \end{cases}

Înlocuim pe zz în (11):

x+y+5+y−x=2021⇒y=1008 \begin{aligned} &\cancel{x}+y+5+y-\cancel{x}=2021 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{y=1008} \end{aligned}

Înlocuim pe yy în (22):

1008=3⋅x⇒x=336 \begin{aligned} &1008 = 3 \cdot x \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{x=336} \end{aligned}

Înlocuim pe xx și yy în (11):

336+1008+z=2021⇒z=677 \begin{aligned} &336+1008+z=2021 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{z=677} \end{aligned}

Uc( x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z) = Uc( 6⋅8⋅76 \cdot 8 \cdot 7) = 66.