E.171. Piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB=18 cm, are fața VBC echivalentă cu baza ABCD.
a) calculați înălțimea piramidei;
b) calculați distanța de la O la planul (VBC), unde {O}=AC∩BD.
Indicația 1: a) Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie. OM este linie mijlocie în △CAB, deci OM=9.
Indicația 2: b) Se arată că distanța cerută este OE, unde E este perpendiculara din O pe VM.
Răspuns: a) h=915; b) d=4915.
Soluție:
a) Fie M mijlocul lui BC și O centrul bazei.
În △CAB, OM este linie mijlocie, deci OM=9.
Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie:
2VM⋅BC=BC2⇒VM=36.
În △VOM, VO2=VM2−OM2=(9⋅4)2−92⇒VO=915.
b) Contruim OE⊥VM.
Din VO⊥(ABC)⇒VO⊥BC.
Din BC⊥VO și BC⊥OM⇒BC⊥(VOM)⇒BC⊥OE.
Din OE⊥VM și OE⊥BC⇒OE⊥(VBC), deci OE este distanța căutată.
În △VOM, OE=VMOV⋅OM=36915⋅9⇒OE=4915.
Observații:
1: Faptul că OE⊥(VBC) se putea arăta mai simplu cu "T3P";
2: Distanța OE se putea calcula mai simplu scriind volumul lui VOBC în două moduri.
E.170. Fie un con circular drept a cărui desfășurare a suprafeței laterale este o jumătate dintr-un disc. Dacă raza bazei conului este 6 cm, aflați înălțimea acestuia.
Indicația 1: Lungime cercului de la baza conului este egală cu lungimea semicercului AB obținut după desfășurare.
Indicația 2:2πr=22πG⇒G=12 cm.
Răspuns:h=63.
Soluție:
Lungime cercului de la baza conului este egală cu lungimea semicercului AB obținut după desfășurare: 2πr=22πG⇒G=2r, deci G=12 cm.
În △VOB,VO2=G2−r2=(2⋅6)2−62, deci VO=63.
E.182. Se consideră tetraedrul ABCD, în care AB⊥AC⊥AD. Dacă AB=AC=3 cm și AD=4 cm, calculați distanța de la A la planul (BCD).
Indicația 1: Dacă E este mijlocul lui BC și F∈DE astfel încât AF⊥DE, atunci AF este distanța cerută.
Indicația 2: Pe AF îl putem calcula în două moduri: sau ca înălțime în triunghiul dreptunghic DAE, sau cu volumul tetraedrului scris în două moduri.
Răspuns:d=411241.
Soluție:
Metoda 1. Fie E mijlocul lui BC și F∈DE astfel încât AF⊥DE (1).
Cum △ABC este isoscel ⇒BC⊥AE.
Din DA⊥AB și DA⊥AC⇒DA⊥(ABC)⇒DA⊥BC, sau BC⊥DA.
Din ultimele două relații rezultă BC⊥(DAE)⇒BC⊥AF, sau AF⊥BC (2).
Din (1) și (2) ⇒AF⊥(DBC), deci AF este distanța căutată.
În △BAC(∡A=90°),BC=32, deci AE=BCAB⋅AC, adică AE=23.
În △DAE(∡A=90°),DE2=AD2+AE2=16+29, deci DE=241.
În △DAE(∡A=90°),AF=DEAE⋅AD, deci AE=411241.
Metoda 2. Notăm cu d distanța cerută și scriem volumul piramidei în două moduri: VDABC=3DA⋅SABC=3d⋅SDBC⇒d=SDBCDA⋅SABC.
SABC=2AB⋅AC=29 și SDBC=2DE⋅BC=2341.
Înlocuind în formula de mai sus obținem AE=411241.
E.183. În tetraedrul regulat ABCD de muchie 12 cm se iau punctele M∈AB, N∈AC și P∈AD, astfel încât BM=CN=DP=2 cm. Calculați distanța de la A la planul (MNP).
Indicații: Folosind teorema lui Thales se arată că MN∥BC și analoagele, deci (MNP)∥(BCD). Așadar, A, Q, O sunt coliniare și MQ∥BO, unde O și Q sunt centrele celor două baze.
Răspuns:d=3106.
Soluție:
MBAB=NCAC⟹R.ThalesMN∥BC⇒MN∥(BCD).
Analog, PM∥(BCD), deci (MNP)∥(BCD).
Prin urmare, A, Q, O sunt coliniare și MQ∥BO, unde O și Q sunt centrele celor două baze.
În △BCD,BO=32⋅2123, deci BO=43.
În △ABO,AO2=AB2−BO2=(3⋅4)2−3⋅42, deci AO=46. MQ∥BO⟹ThalesAOAQ=ABAM⇒AQ=ABAO⋅AM=1246⋅10, deci AQ=3106.
E.184. Un con circular drept de vârf V are generatoarele VA, VB și VC perpendiculare două câte două. Dacă VA=8 cm, determinați înălțimea conului.
Indicații: Triunghiurile VAB, VBC și VCA sunt congruente, rezultă AB=BC=CA=82, rezultă ⇒△ABC - echilateral.
Răspuns:h=383.
Soluție:
Triunghiurile VAB, VBC și VCA sunt congruente (cazul C.C.), rezultă AB=BC=CA=82, rezultă △ABC - echilateral.
Conul fiind drept, înălțimea VO cade în centrul bazei, deci AO=32⋅2AB3, adică AO=386.
În △VOA,VO2=VA2−AO2=82−982⋅6, adică VO=383.
E.185. Fie punctele A și B pe cercul bazei unui con circular drept cu vârful în V. Dacă M este mijlocul unuia dintre arcele determinate de punctele A și B pe cercul C(O,R) al bazei conului, arătați că AB⊥(VOM).
Indicația 2: Se arată că AB⊥OM și AB⊥VN, deci este perpendicular și pe planul care le conține.
Soluție:
Fie AB∩OM={N}. AM=BM⇒∡AON=∡BON⇒△AON≡△BON (L.U.L.) ⇒AN=BN și ∡ONA=∡ONB, adică AB⊥OM(1).
În △VAB isoscel, mediana este și înălțime, deci AB⊥VN(2).
Cum OM și VN determină planul VOM)⟹(1),((2)AB⊥(VOM).