Exercițiul 171

E.171. Piramida patrulateră regulată VABCDVABCD, cu AB=18AB=18 cm, are fața VBCVBC echivalentă cu baza ABCDABCD.
a) calculați înălțimea piramidei;
b) calculați distanța de la OO la planul (VBC)(VBC), unde {O}=AC∩BD\{O\}=AC \cap BD.

Mate2000, 10/146, ***
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie. OMOM este linie mijlocie în △CAB\triangle CAB, deci OM=9.OM=9.

Indicația 2: b) Se arată că distanța cerută este OEOE, unde EE este perpendiculara din OO pe VM.VM.

Răspuns: a) h=915h=9\sqrt{15}; b) d=9154.d=\dfrac{9\sqrt{15}}{4}.

Soluție:


a) Fie MM mijlocul lui BCBC și OO centrul bazei.
În △CAB\triangle CAB, OMOM este linie mijlocie, deci OM=9.\boxed{OM=9}.
Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie: VM⋅BC2=BC2⇒VM=36.\dfrac{VM \cdot BC}{2} = BC^2 \Rightarrow \boxed{VM=36}.
În △VOM\triangle VOM, VO2=VM2−OM2=(9⋅4)2−92⇒VO=915.VO^2=VM^2-OM^2 = (9\cdot 4)^2-9^2 \Rightarrow \boxed{VO=9\sqrt{15}}.

b) Contruim OE⊥VM.OE \perp VM.
Din VO⊥(ABC)⇒VO⊥BC.VO \perp (ABC) \Rightarrow \boxed{VO \perp BC}.
Din BC⊥VOBC \perp VO și BC⊥OM⇒BC⊥(VOM)⇒BC⊥OE.BC \perp OM \Rightarrow BC \perp (VOM) \Rightarrow \boxed{BC \perp OE}.
Din OE⊥VMOE \perp VM și OE⊥BC⇒OE⊥(VBC)OE \perp BC \Rightarrow OE \perp (VBC), deci OEOE este distanța căutată.

În △VOM\triangle VOM, OE=OV⋅OMVM=915⋅936⇒OE=9154.OE=\dfrac{OV \cdot OM}{VM}=\dfrac{9\sqrt{15} \cdot 9}{36} \Rightarrow \boxed{OE=\dfrac{9\sqrt{15}}{4}}.

Observații:
1: Faptul că OE⊥(VBC)OE \perp (VBC) se putea arăta mai simplu cu "T3P";
2: Distanța OE se putea calcula mai simplu scriind volumul lui VOBCVOBC în două moduri.