Exercițiul 184

E.184. Un con circular drept de vârf VV are generatoarele VAVA, VBVB și VCVC perpendiculare două câte două. Dacă VA=8VA=8 cm, determinați înălțimea conului.

Art, 14/147, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Triunghiurile VABVAB, VBCVBC și VCAVCA sunt congruente, rezultă AB=BC=CA=82AB = BC = CA = 8\sqrt{2}, rezultă ⇒△ABC - echilateral.\Rightarrow \triangle ABC \text{ - echilateral}.

Răspuns: h=833.h=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.

Soluție:

Triunghiurile VABVAB, VBCVBC și VCAVCA sunt congruente (cazul C.C.), rezultă AB=BC=CA=82AB = BC = CA = 8\sqrt{2}, rezultă △ABC - echilateral.\boxed{\triangle ABC \text{ - echilateral}}.
Conul fiind drept, înălțimea VOVO cade în centrul bazei, deci AO=23⋅AB32,AO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{AB \sqrt{3}}{2}, adică AO=863.\boxed{AO=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}}.

În △VOA, VO2=VA2−AO2=82−82⋅69,\triangle VOA,~VO^2=VA^2-AO^2 = 8^2-\dfrac{8^2 \cdot 6}{9}, adică VO=833.\boxed{VO=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}}.