Distanţa dintre două plane paralele. Înălţimea prismei. Înălțimea cilindrului

Distanţa dintre două plane paralele. Înălţimea prismei. Înălțimea cilindrului

Nivel mediu

E.172. Dacă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt romburi, cu AC=83AC=8\sqrt{3} cm, BD=8BD=8 cm, iar EE este mijlocul segmentului OO′OO' (OO și O′O' sunt punctele de intersecție ale diagonalelor bazelor), MM este mijlocul segmentului BCBC și ME=5ME=5 cm, calculați înălțimea prismei.

Mate2000, 8/150, **
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc, deci OB=4OB=4, OC=43OC=4\sqrt{3}, BC=8.BC=8.

Indicația 2: În △CAB\triangle CAB, OMOM este linie mijlocie, deci OM=4.OM=4.

Răspuns: h=6h=6 cm.

Soluție:


Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc.
OB=BD2=4OB=\dfrac{BD}{2}=4, OC=AC2=43.OC=\dfrac{AC}{2}=4\sqrt{3}.
În △COB\triangle COB, BC2=OB2+OC2=42+(43)2BC^2=OB^2+OC^2=4^2+(4\sqrt{3})^2, deci BC=8.\boxed{BC=8}.
În △CAB\triangle CAB, OMOM este linie mijlocie, deci OM=4.\boxed{OM=4}.
În △EOM\triangle EOM, OE=3OE=3 (33, 44, 55 - triplet pitagoreic) ⇒OO′=2⋅OE=6 cm.\Rightarrow \boxed{OO'=2\cdot OE = 6 \text{ cm}}.

E.173. Fie cilindrul circular drept cu bazele C\cal C(O,R)(O, R) și C\cal C(O′,R).(O', R). Fie AA′AA' și BB′BB' două generatoare ale sale astfel încât ABAB să fie un diametru al C\cal C(O,R).(O, R). Alegem punctul CC pe C\cal C(O,R)(O, R), astfel încât ∡ABC=45°\measuredangle{ABC}=45\degree. Dacă ∡ACA′=30°\measuredangle{ACA'}=30\degree și A′C=28A'C=28 cm, calculați:
a) înălțimea cilindrului;
b) aria unei baze a cilindrului.

Art, 14/150, **
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) A′A⊥CA'A \perp \cal C(O,R)⇒A′A⊥AC.(O, R) \Rightarrow A'A \perp AC. Din △A′AC⇒A′A=14 cm.\triangle A'AC \Rightarrow A'A=14 \text{ cm}.

Indicația 2: b) ∡ACB=AB⏠2=90°⇒△ABC\measuredangle ACB = \dfrac{\overgroup{AB}}{2}=90\degree \Rightarrow \triangle ABC este dreptunghic isoscel, deci AB=AC2=146.AB=AC\sqrt2 = 14\sqrt{6}.

Răspuns: a) h=14h=14 cm; b) S=294πS=294\pi cm2^2.

Soluție:


a) A′A⊥CA'A \perp \cal C(O,R)⇒A′A⊥AC.(O, R) \Rightarrow A'A \perp AC.
În ©

b) În △A′AC\triangle A'AC, AC2=A′C2−A′A2=(4⋅7)2−(2⋅7)2AC^2=A'C^2-A'A^2= (4 \cdot 7)^2-(2 \cdot 7)^2, deci AC=143.\boxed{AC=14\sqrt{3}}.
∡ACB=AB⏠2=90°\measuredangle ACB = \dfrac{\overgroup{AB}}{2}=90\degree. Cum ∡ABC=45°⇒△ABC\measuredangle ABC = 45\degree \Rightarrow \triangle ABC este dreptunghic isoscel.
Deci AB=AC2=146⇒r=OA=76.AB=AC\sqrt2 = 14\sqrt{6} \Rightarrow \boxed{r=OA = 7\sqrt{6}}.
SC(O,R)=πr2=294π.\boxed{S_{\cal C(O, R)} = \pi r^2 = 294\pi}.

Nume CreatLa (UTC)
Tema3-cls8: Înălțimea în piramidă, con, prismă, cilindru 21-01-2024 13:05