Distanţa dintre două plane paralele. Înălţimea prismei. Înălțimea cilindrului
Nivel mediu
E.172. Dacă ABCDA′B′C′D′ este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt romburi, cu AC=83 cm, BD=8 cm, iar E este mijlocul segmentului OO′ (O și O′ sunt punctele de intersecție ale diagonalelor bazelor), M este mijlocul segmentului BC și ME=5 cm, calculați înălțimea prismei.
Indicația 1: Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc, deci OB=4, OC=43, BC=8.
Indicația 2: În △CAB, OM este linie mijlocie, deci OM=4.
Răspuns:h=6 cm.
Soluție:
Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc. OB=2BD=4, OC=2AC=43.
În △COB, BC2=OB2+OC2=42+(43)2, deci BC=8.
În △CAB, OM este linie mijlocie, deci OM=4.
În △EOM, OE=3 (3, 4, 5 - triplet pitagoreic) ⇒OO′=2⋅OE=6 cm.
E.173. Fie cilindrul circular drept cu bazele C(O,R) și C(O′,R). Fie AA′ și BB′ două generatoare ale sale astfel încât AB să fie un diametru al C(O,R). Alegem punctul C pe C(O,R), astfel încât ∡ABC=45°. Dacă ∡ACA′=30° și A′C=28 cm, calculați:
a) înălțimea cilindrului;
b) aria unei baze a cilindrului.
b) În △A′AC, AC2=A′C2−A′A2=(4⋅7)2−(2⋅7)2, deci AC=143. ∡ACB=2AB=90°. Cum ∡ABC=45°⇒△ABC este dreptunghic isoscel.
Deci AB=AC2=146⇒r=OA=76. SC(O,R)=πr2=294π.