Înălţimea piramidei. Înălțimea conului

Înălţimea piramidei. Înălțimea conului

Nivel mediu

E.171. Piramida patrulateră regulată VABCDVABCD, cu AB=18AB=18 cm, are fața VBCVBC echivalentă cu baza ABCDABCD.
a) calculați înălțimea piramidei;
b) calculați distanța de la OO la planul (VBC)(VBC), unde {O}=AC∩BD\{O\}=AC \cap BD.

Mate2000, 10/146, ***
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie. OMOM este linie mijlocie în △CAB\triangle CAB, deci OM=9.OM=9.

Indicația 2: b) Se arată că distanța cerută este OEOE, unde EE este perpendiculara din OO pe VM.VM.

Răspuns: a) h=915h=9\sqrt{15}; b) d=9154.d=\dfrac{9\sqrt{15}}{4}.

Soluție:


a) Fie MM mijlocul lui BCBC și OO centrul bazei.
În △CAB\triangle CAB, OMOM este linie mijlocie, deci OM=9.\boxed{OM=9}.
Două figuri sunt echivalente daca au aceeași arie: VM⋅BC2=BC2⇒VM=36.\dfrac{VM \cdot BC}{2} = BC^2 \Rightarrow \boxed{VM=36}.
În △VOM\triangle VOM, VO2=VM2−OM2=(9⋅4)2−92⇒VO=915.VO^2=VM^2-OM^2 = (9\cdot 4)^2-9^2 \Rightarrow \boxed{VO=9\sqrt{15}}.

b) Contruim OE⊥VM.OE \perp VM.
Din VO⊥(ABC)⇒VO⊥BC.VO \perp (ABC) \Rightarrow \boxed{VO \perp BC}.
Din BC⊥VOBC \perp VO și BC⊥OM⇒BC⊥(VOM)⇒BC⊥OE.BC \perp OM \Rightarrow BC \perp (VOM) \Rightarrow \boxed{BC \perp OE}.
Din OE⊥VMOE \perp VM și OE⊥BC⇒OE⊥(VBC)OE \perp BC \Rightarrow OE \perp (VBC), deci OEOE este distanța căutată.

În △VOM\triangle VOM, OE=OV⋅OMVM=915⋅936⇒OE=9154.OE=\dfrac{OV \cdot OM}{VM}=\dfrac{9\sqrt{15} \cdot 9}{36} \Rightarrow \boxed{OE=\dfrac{9\sqrt{15}}{4}}.

Observații:
1: Faptul că OE⊥(VBC)OE \perp (VBC) se putea arăta mai simplu cu "T3P";
2: Distanța OE se putea calcula mai simplu scriind volumul lui VOBCVOBC în două moduri.

E.170. Fie un con circular drept a cărui desfășurare a suprafeței laterale este o jumătate dintr-un disc. Dacă raza bazei conului este 66 cm, aflați înălțimea acestuia.

Art, 13/147, **
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Lungime cercului de la baza conului este egală cu lungimea semicercului AB⏠\overgroup{AB} obținut după desfășurare.

Indicația 2: 2πr=2πG2⇒G=12 cm.2 \pi r=\dfrac{2\pi G}{2} \Rightarrow G=12 \text{ cm}.

Răspuns: h=63.h=6\sqrt{3}.

Soluție:


Lungime cercului de la baza conului este egală cu lungimea semicercului AB⏠\overgroup{AB} obținut după desfășurare:
2πr=2πG2⇒G=2r2 \pi r=\dfrac{2\pi G}{2} \Rightarrow G=2r, deci G=12 cm.\boxed{G=12 \text{ cm}}.
În △VOB, VO2=G2−r2=(2⋅6)2−62\triangle VOB,~ VO^2 = G^2-r^2 = (2\cdot 6)^2 - 6^2, deci VO=63.\boxed{VO=6\sqrt{3}}.

E.182. Se consideră tetraedrul ABCDABCD, în care AB⊥AC⊥AD.AB \perp AC \perp AD. Dacă AB=AC=3AB=AC=3 cm și AD=4AD=4 cm, calculați distanța de la AA la planul (BCD).(BCD).

Art, 17/148, ** (adaptare)
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Dacă EE este mijlocul lui BCBC și F∈DE{F} \in DE astfel încât AF⊥DE,AF \perp DE, atunci AFAF este distanța cerută.

Indicația 2: Pe AFAF îl putem calcula în două moduri: sau ca înălțime în triunghiul dreptunghic DAE,DAE, sau cu volumul tetraedrului scris în două moduri.

Răspuns: d=124141.d=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}.

Soluție:


Metoda 1. Fie EE mijlocul lui BCBC și F∈DE{F} \in DE astfel încât AF⊥DE\boxed{AF \perp DE} (1).
Cum △ABC\triangle ABC este isoscel ⇒BC⊥AE.\Rightarrow \boxed{BC \perp AE}.
Din DA⊥ABDA \perp AB și DA⊥AC⇒DA⊥(ABC)⇒DA⊥BC,DA \perp AC \Rightarrow DA \perp (ABC) \Rightarrow DA \perp BC, sau BC⊥DA.\boxed{BC \perp DA}.
Din ultimele două relații rezultă BC⊥(DAE)⇒BC⊥AF,BC \perp (DAE) \Rightarrow BC \perp AF, sau AF⊥BC\boxed{AF \perp BC} (2).
Din (1) și (2) ⇒AF⊥(DBC),\Rightarrow AF \perp (DBC), deci AFAF este distanța căutată.

În △BAC (∡A=90°), BC=32,\triangle BAC~(\measuredangle A = 90\degree),~ BC=3\sqrt{2}, deci AE=AB⋅ACBC,AE=\dfrac{AB \cdot AC}{BC}, adică AE=32.\boxed{AE=\dfrac{3}{\sqrt{2}}}.
În △DAE (∡A=90°), DE2=AD2+AE2=16+92,\triangle DAE~(\measuredangle A = 90\degree),~DE^2=AD^2 + AE^2 = 16+\dfrac{9}{2}, deci DE=412.\boxed{DE=\dfrac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}}}.
În △DAE (∡A=90°), AF=AE⋅ADDE,\triangle DAE~(\measuredangle A = 90\degree),~AF=\dfrac{AE \cdot AD}{DE}, deci AE=124141.\boxed{AE=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}}.

Metoda 2. Notăm cu dd distanța cerută și scriem volumul piramidei în două moduri:
VDABC=DA⋅SABC3=d⋅SDBC3⇒d=DA⋅SABCSDBC.V_{DABC} = \dfrac{DA \cdot S_{ABC}}{3} = \dfrac{d \cdot S_{DBC}}{3} \Rightarrow \boxed{d=\dfrac{DA \cdot S_{ABC}}{S_{DBC}}}.

SABC=AB⋅AC2=92S_{ABC}=\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{9}{2} și SDBC=DE⋅BC2=3412.S_{DBC}=\dfrac{DE \cdot BC}{2} = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}.
Înlocuind în formula de mai sus obținem AE=124141.\boxed{AE=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}}.

E.183. În tetraedrul regulat ABCDABCD de muchie 1212 cm se iau punctele M∈ABM \in AB, N∈ACN \in AC și P∈ADP \in AD, astfel încât BM=CN=DP=2BM=CN=DP=2 cm. Calculați distanța de la AA la planul (MNP).

Mate2000, 14/146, ****
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Folosind teorema lui Thales se arată că MN∥BCMN \parallel BC și analoagele, deci (MNP)∥(BCD).(MNP) \parallel (BCD). Așadar, AA, QQ, OO sunt coliniare și MQ∥BOMQ \parallel BO, unde OO și QQ sunt centrele celor două baze.

Răspuns: d=1063.d=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}.

Soluție:

ABMB=ACNC⟹R.ThalesMN∥BC⇒MN∥(BCD).\dfrac{AB}{MB}=\dfrac{AC}{NC} \overset{R.Thales}{\Longrightarrow} MN \parallel BC \Rightarrow MN \parallel (BCD).
Analog, PM∥(BCD),PM \parallel (BCD), deci (MNP)∥(BCD).\boxed{(MNP) \parallel (BCD)}.

Prin urmare, AA, QQ, OO sunt coliniare și MQ∥BO\boxed{MQ \parallel BO}, unde OO și QQ sunt centrele celor două baze.

În △BCD, BO=23⋅1232,\triangle BCD,~ BO=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12\sqrt{3}}{2}, deci BO=43.\boxed{BO=4\sqrt{3}}.
În △ABO,AO2=AB2−BO2=(3⋅4)2−3⋅42,\triangle ABO, AO^2=AB^2-BO^2 = (3 \cdot 4)^2 - 3 \cdot 4^2, deci AO=46.\boxed{AO=4\sqrt{6}}.
MQ∥BO⟹ThalesAQAO=AMAB⇒AQ=AO⋅AMAB=46⋅1012,MQ \parallel BO \overset{Thales}{\Longrightarrow} \dfrac{AQ}{AO} = \dfrac{AM}{AB} \Rightarrow AQ= \dfrac{AO \cdot AM}{AB} = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot 10}{12}, deci AQ=1063.\boxed{AQ = \dfrac{10\sqrt{6}}{3}}.

E.184. Un con circular drept de vârf VV are generatoarele VAVA, VBVB și VCVC perpendiculare două câte două. Dacă VA=8VA=8 cm, determinați înălțimea conului.

Art, 14/147, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Triunghiurile VABVAB, VBCVBC și VCAVCA sunt congruente, rezultă AB=BC=CA=82AB = BC = CA = 8\sqrt{2}, rezultă ⇒△ABC - echilateral.\Rightarrow \triangle ABC \text{ - echilateral}.

Răspuns: h=833.h=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.

Soluție:

Triunghiurile VABVAB, VBCVBC și VCAVCA sunt congruente (cazul C.C.), rezultă AB=BC=CA=82AB = BC = CA = 8\sqrt{2}, rezultă △ABC - echilateral.\boxed{\triangle ABC \text{ - echilateral}}.
Conul fiind drept, înălțimea VOVO cade în centrul bazei, deci AO=23⋅AB32,AO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{AB \sqrt{3}}{2}, adică AO=863.\boxed{AO=\dfrac{8\sqrt{6}}{3}}.

În △VOA, VO2=VA2−AO2=82−82⋅69,\triangle VOA,~VO^2=VA^2-AO^2 = 8^2-\dfrac{8^2 \cdot 6}{9}, adică VO=833.\boxed{VO=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}}.

E.185. Fie punctele AA și BB pe cercul bazei unui con circular drept cu vârful în VV. Dacă MM este mijlocul unuia dintre arcele determinate de punctele AA și BB pe cercul C\cal{C}(O,R)(O,R) al bazei conului, arătați că AB⊥(VOM).AB \perp (VOM).

Art, 16/148, **
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Fie AB∩OM={N}.AB \cap OM = \{N\}. Se arată că △AON≡△BON\triangle AON \equiv \triangle BON

Indicația 2: Se arată că AB⊥OMAB \perp OM și AB⊥VNAB \perp VN, deci este perpendicular și pe planul care le conține.

Soluție:


Fie AB∩OM={N}.AB \cap OM = \{N\}.
AM⏠=BM⏠⇒∡AON=∡BON⇒△AON≡△BON\overgroup{AM}=\overgroup{BM} \Rightarrow \measuredangle AON = \measuredangle BON \Rightarrow \triangle AON \equiv \triangle BON (L.U.L.) ⇒AN=BN\Rightarrow \boxed{AN = BN} și ∡ONA=∡ONB\measuredangle ONA = \measuredangle ONB, adică AB⊥OM (1).\boxed{AB \perp OM}~(1).
În △VAB\triangle VAB isoscel, mediana este și înălțime, deci AB⊥VN (2).\boxed{AB \perp VN}~(2).
Cum OMOM și VNVN determină planul VOM)⟹(1), ((2)AB⊥(VOM).VOM) \overset{(1),~((2)}{\Longrightarrow} \boxed{AB \perp (VOM)}.

Nume CreatLa (UTC)
Tema4-cls8: Înălţimea piramidei. Înălțimea conului 21-01-2024 16:48