Exercițiul 185

E.185. Fie punctele AA și BB pe cercul bazei unui con circular drept cu vârful în VV. Dacă MM este mijlocul unuia dintre arcele determinate de punctele AA și BB pe cercul C\cal{C}(O,R)(O,R) al bazei conului, arătați că AB⊥(VOM).AB \perp (VOM).

Art, 16/148, **
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Fie AB∩OM={N}.AB \cap OM = \{N\}. Se arată că △AON≡△BON\triangle AON \equiv \triangle BON

Indicația 2: Se arată că AB⊥OMAB \perp OM și AB⊥VNAB \perp VN, deci este perpendicular și pe planul care le conține.

Soluție:


Fie AB∩OM={N}.AB \cap OM = \{N\}.
AM⏠=BM⏠⇒∡AON=∡BON⇒△AON≡△BON\overgroup{AM}=\overgroup{BM} \Rightarrow \measuredangle AON = \measuredangle BON \Rightarrow \triangle AON \equiv \triangle BON (L.U.L.) ⇒AN=BN\Rightarrow \boxed{AN = BN} și ∡ONA=∡ONB\measuredangle ONA = \measuredangle ONB, adică AB⊥OM (1).\boxed{AB \perp OM}~(1).
În △VAB\triangle VAB isoscel, mediana este și înălțime, deci AB⊥VN (2).\boxed{AB \perp VN}~(2).
Cum OMOM și VNVN determină planul VOM)⟹(1), ((2)AB⊥(VOM).VOM) \overset{(1),~((2)}{\Longrightarrow} \boxed{AB \perp (VOM)}.