Exercițiul 182

E.182. Se consideră tetraedrul ABCDABCD, în care AB⊥AC⊥AD.AB \perp AC \perp AD. Dacă AB=AC=3AB=AC=3 cm și AD=4AD=4 cm, calculați distanța de la AA la planul (BCD).(BCD).

Art, 17/148, ** (adaptare)
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Dacă EE este mijlocul lui BCBC și F∈DE{F} \in DE astfel încât AF⊥DE,AF \perp DE, atunci AFAF este distanța cerută.

Indicația 2: Pe AFAF îl putem calcula în două moduri: sau ca înălțime în triunghiul dreptunghic DAE,DAE, sau cu volumul tetraedrului scris în două moduri.

Răspuns: d=124141.d=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}.

Soluție:


Metoda 1. Fie EE mijlocul lui BCBC și F∈DE{F} \in DE astfel încât AF⊥DE\boxed{AF \perp DE} (1).
Cum △ABC\triangle ABC este isoscel ⇒BC⊥AE.\Rightarrow \boxed{BC \perp AE}.
Din DA⊥ABDA \perp AB și DA⊥AC⇒DA⊥(ABC)⇒DA⊥BC,DA \perp AC \Rightarrow DA \perp (ABC) \Rightarrow DA \perp BC, sau BC⊥DA.\boxed{BC \perp DA}.
Din ultimele două relații rezultă BC⊥(DAE)⇒BC⊥AF,BC \perp (DAE) \Rightarrow BC \perp AF, sau AF⊥BC\boxed{AF \perp BC} (2).
Din (1) și (2) ⇒AF⊥(DBC),\Rightarrow AF \perp (DBC), deci AFAF este distanța căutată.

În △BAC (∡A=90°), BC=32,\triangle BAC~(\measuredangle A = 90\degree),~ BC=3\sqrt{2}, deci AE=AB⋅ACBC,AE=\dfrac{AB \cdot AC}{BC}, adică AE=32.\boxed{AE=\dfrac{3}{\sqrt{2}}}.
În △DAE (∡A=90°), DE2=AD2+AE2=16+92,\triangle DAE~(\measuredangle A = 90\degree),~DE^2=AD^2 + AE^2 = 16+\dfrac{9}{2}, deci DE=412.\boxed{DE=\dfrac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}}}.
În △DAE (∡A=90°), AF=AE⋅ADDE,\triangle DAE~(\measuredangle A = 90\degree),~AF=\dfrac{AE \cdot AD}{DE}, deci AE=124141.\boxed{AE=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}}.

Metoda 2. Notăm cu dd distanța cerută și scriem volumul piramidei în două moduri:
VDABC=DA⋅SABC3=d⋅SDBC3⇒d=DA⋅SABCSDBC.V_{DABC} = \dfrac{DA \cdot S_{ABC}}{3} = \dfrac{d \cdot S_{DBC}}{3} \Rightarrow \boxed{d=\dfrac{DA \cdot S_{ABC}}{S_{DBC}}}.

SABC=AB⋅AC2=92S_{ABC}=\dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{9}{2} și SDBC=DE⋅BC2=3412.S_{DBC}=\dfrac{DE \cdot BC}{2} = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}.
Înlocuind în formula de mai sus obținem AE=124141.\boxed{AE=\dfrac{12\sqrt{41}}{41}}.