Exercițiul 183

E.183. În tetraedrul regulat ABCDABCD de muchie 1212 cm se iau punctele M∈ABM \in AB, N∈ACN \in AC și P∈ADP \in AD, astfel încât BM=CN=DP=2BM=CN=DP=2 cm. Calculați distanța de la AA la planul (MNP).

Mate2000, 14/146, ****
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Folosind teorema lui Thales se arată că MN∥BCMN \parallel BC și analoagele, deci (MNP)∥(BCD).(MNP) \parallel (BCD). Așadar, AA, QQ, OO sunt coliniare și MQ∥BOMQ \parallel BO, unde OO și QQ sunt centrele celor două baze.

Răspuns: d=1063.d=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}.

Soluție:

ABMB=ACNC⟹R.ThalesMN∥BC⇒MN∥(BCD).\dfrac{AB}{MB}=\dfrac{AC}{NC} \overset{R.Thales}{\Longrightarrow} MN \parallel BC \Rightarrow MN \parallel (BCD).
Analog, PM∥(BCD),PM \parallel (BCD), deci (MNP)∥(BCD).\boxed{(MNP) \parallel (BCD)}.

Prin urmare, AA, QQ, OO sunt coliniare și MQ∥BO\boxed{MQ \parallel BO}, unde OO și QQ sunt centrele celor două baze.

În △BCD, BO=23⋅1232,\triangle BCD,~ BO=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12\sqrt{3}}{2}, deci BO=43.\boxed{BO=4\sqrt{3}}.
În △ABO,AO2=AB2−BO2=(3⋅4)2−3⋅42,\triangle ABO, AO^2=AB^2-BO^2 = (3 \cdot 4)^2 - 3 \cdot 4^2, deci AO=46.\boxed{AO=4\sqrt{6}}.
MQ∥BO⟹ThalesAQAO=AMAB⇒AQ=AO⋅AMAB=46⋅1012,MQ \parallel BO \overset{Thales}{\Longrightarrow} \dfrac{AQ}{AO} = \dfrac{AM}{AB} \Rightarrow AQ= \dfrac{AO \cdot AM}{AB} = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot 10}{12}, deci AQ=1063.\boxed{AQ = \dfrac{10\sqrt{6}}{3}}.