Exercițiul 172

E.172. Dacă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt romburi, cu AC=83AC=8\sqrt{3} cm, BD=8BD=8 cm, iar EE este mijlocul segmentului OO′OO' (OO și O′O' sunt punctele de intersecție ale diagonalelor bazelor), MM este mijlocul segmentului BCBC și ME=5ME=5 cm, calculați înălțimea prismei.

Mate2000, 8/150, **
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc, deci OB=4OB=4, OC=43OC=4\sqrt{3}, BC=8.BC=8.

Indicația 2: În △CAB\triangle CAB, OMOM este linie mijlocie, deci OM=4.OM=4.

Răspuns: h=6h=6 cm.

Soluție:


Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumatățesc.
OB=BD2=4OB=\dfrac{BD}{2}=4, OC=AC2=43.OC=\dfrac{AC}{2}=4\sqrt{3}.
În △COB\triangle COB, BC2=OB2+OC2=42+(43)2BC^2=OB^2+OC^2=4^2+(4\sqrt{3})^2, deci BC=8.\boxed{BC=8}.
În △CAB\triangle CAB, OMOM este linie mijlocie, deci OM=4.\boxed{OM=4}.
În △EOM\triangle EOM, OE=3OE=3 (33, 44, 55 - triplet pitagoreic) ⇒OO′=2⋅OE=6 cm.\Rightarrow \boxed{OO'=2\cdot OE = 6 \text{ cm}}.