Exercițiul 173

E.173. Fie cilindrul circular drept cu bazele C\cal C(O,R)(O, R) și C\cal C(O′,R).(O', R). Fie AA′AA' și BB′BB' două generatoare ale sale astfel încât ABAB să fie un diametru al C\cal C(O,R).(O, R). Alegem punctul CC pe C\cal C(O,R)(O, R), astfel încât ∡ABC=45°\measuredangle{ABC}=45\degree. Dacă ∡ACA′=30°\measuredangle{ACA'}=30\degree și A′C=28A'C=28 cm, calculați:
a) înălțimea cilindrului;
b) aria unei baze a cilindrului.

Art, 14/150, **
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) A′A⊥CA'A \perp \cal C(O,R)⇒A′A⊥AC.(O, R) \Rightarrow A'A \perp AC. Din △A′AC⇒A′A=14 cm.\triangle A'AC \Rightarrow A'A=14 \text{ cm}.

Indicația 2: b) ∡ACB=AB⏠2=90°⇒△ABC\measuredangle ACB = \dfrac{\overgroup{AB}}{2}=90\degree \Rightarrow \triangle ABC este dreptunghic isoscel, deci AB=AC2=146.AB=AC\sqrt2 = 14\sqrt{6}.

Răspuns: a) h=14h=14 cm; b) S=294πS=294\pi cm2^2.

Soluție:


a) A′A⊥CA'A \perp \cal C(O,R)⇒A′A⊥AC.(O, R) \Rightarrow A'A \perp AC.
În ©

b) În △A′AC\triangle A'AC, AC2=A′C2−A′A2=(4⋅7)2−(2⋅7)2AC^2=A'C^2-A'A^2= (4 \cdot 7)^2-(2 \cdot 7)^2, deci AC=143.\boxed{AC=14\sqrt{3}}.
∡ACB=AB⏠2=90°\measuredangle ACB = \dfrac{\overgroup{AB}}{2}=90\degree. Cum ∡ABC=45°⇒△ABC\measuredangle ABC = 45\degree \Rightarrow \triangle ABC este dreptunghic isoscel.
Deci AB=AC2=146⇒r=OA=76.AB=AC\sqrt2 = 14\sqrt{6} \Rightarrow \boxed{r=OA = 7\sqrt{6}}.
SC(O,R)=πr2=294π.\boxed{S_{\cal C(O, R)} = \pi r^2 = 294\pi}.