Metoda mersului invers vs. metoda algebrică

E.658. Adrian s-a gândit la un număr pe care l-a înmulțit cu $13$ și a tăiat ultima cifră a numărului obținut. Noul număr l-a înmulțit cu $7$ și iarăși a tăiat ultima cifră, ajungând în acest fel la numărul $21.$ Suma cifrelor numărului inițial este egală cu:

E.659. Mama a spus celor trei fii ai săi să împartă merele dintr-o fructieră astfel: fiul cel mare să ia o treime din numărul merelor, mijlociul să ia o treime din ce a rămas plus un măr, iar cel mic să ia o treime din ce a găsit plus ultimele două mere. A împărțit mama merele în mod egal? Justificați răspunsul.

E.662. Suma a trei numere naturale este $110.$ Aflați numerele, știind că dacă împărțim al doilea număr la primul se obține câtul $2$ și restul $2,$ iar dacă împărțim al treilea număr la al doilea obținem câtul $3$ și restul $3.$

E.660. Suma a patru numere naturale este $2024.$ Primul număr este cu $5$ mai mare decât al doilea. Împățind al doilea număr la al treilea se obțin câtul $2$ și restul $2$ și împărțind al treilea la al patrulea se obțin câtul $3$ și restul $3.$ Aflați cele $4$ numere.

E.661. Un biciclist își propune să parcurgă un traseu în $3$ zile. În prima zi parcurge un sfert din traseu și apoi se întoarce $5$ km pentru un loc de popas. A doua zi parcurge $25$ din distanța rămasă și iar se întoarce $4$ km pentru cazare. În a treia zi constată că are de parcurs jumătate din lungimea totală a traseului. Ce lungime are traseul?

E.663. O fermă viticolă a distribuit cantitatea de struguri în trei centre viticole astfel: primul centru a luat $\dfrac{1}{3}$ din cantitatea totală și încă $16$ tone, al doilea centru a luat $\dfrac{1}{3}$ din ce a mai rămas și încă $16$ tone, cel de-al treilea centru a luat $\dfrac{1}{3}$ din ce a mai rămas și încă $16$ tone de struguri. Ce cantitate de struguri a revenit fiecărui centru de vinificație?

E.664. La un restaurant s-au adus cartofi. În prima zi s-a consumat o cincime din cantitatea de cartofi. În a doua zi s-a consumat o cincime din rest. A treia zi s-a folosit un sfert din cantitatea rămasă. În a patra zi s-a folosit jumătate din cantitatea rămasă. Pentru a cincea zi au rămas $54$ kg de cartofi. Ce cantitate de cartofi a fost adusă?

E.665. Vlad are o sumă de bani. După ce dublează suma, cheltuiește $160$ lei. Triplează suma rămasă și mai cheltuiește $900$ lei. După ce dublează noul rest și cheltuiește $600$ lei, constată că i-au mai rămas $900$ lei. Ce sumă inițiala a avut Vlad?

E.666. Un turist are de parcurs distanța dintre două orașe în $4$ zile. În prima zi parcurge jumătate din distanță și încă $20$ km. A doua zi parcurge o treime din distanța rămasă și încă $20$ km. A treia zi parcurge un sfert din distanța rămasă și încă $20$ km. Dacă în a patra zi a parcurs $55$ km, aflați distanța dintre cele două orașe.

E.667. Înainte de închiderea unui magazin mai erau patru clienți care au cumpărat toată cantitatea de pâine existentă. Aflați câte pâini au fost, dacă fiecare client a cumpărat jumătate din cantitatea de pâine care se găsea în momentul în care i-a venit rândul și încă o pâine.

E.668. Problema hangiului. Trei drumeți au intrat într-un han și au cerut să li se pregătească niște cartofi. Între timp, ei au adormit. Primul care s-a trezit a mâncat a treia parte din cartofi și s-a culcat iarăși. Când s-a trezit al doilea, crezând că este primul care mănâncă, a mâncat a treia parte din cartofii rămași și s-a culcat. În sfârșit, când s-a trezit al treilea drumeț a mâncat și el a treia parte din cartofii rămași și a adormit. Dimineața s-au lămurit. Pe masă mai erau $8$ cartofi. Câți cartofi au fost la început pe masă?

E.669. Trei prinți au luptat cu un balaur cu multe capete. Primul prinț a tăiat cu mâna dreaptă o treime din capetele balaurului și încă două capete cu mâna dreaptă. Al doilea prinț, cu mâna dreaptă a tăiat o treime din capetele rămase ale balaurului și cu mâna stângă încă două. Al treilea a tăiat cu mâna dreaptă jumătate din capetele rămase și cu mâna stângă ultimele $3$ capete ale balaurului. Câte capete a avut balaurul?

E.670. La inagurarea unui magazin cu articole sportive se folosesc mai multe baloane colorate: roșii, galbene, verzi, albastre și portocalii. Jumătate din numărul baloanelor și încă $5$ sunt roșii. O treime din ce a rămas și încă $10$ baloane sunt galbene. Un sfert din noul rest și încă $20$ de bucăți sunt verzi. O jumătate din ce a rămas sunt albastre. Ultimele $35$ de baloane sunt portocalii. Câte baloane sunt folosite la inagurarea magazinului?

E.671. Andrei a rezolvat luni un sfert din problemele pe care și le-a propus pentru o săptămână, marți a rezolvat o treime din cele rămase, iar miercuri a rezolvat jumătate din cele nou rămase și a constat că i-au mai rămas de rezolvat $12$ probleme. Câte probleme și-a propus să rezolve Andrei în acea săptămână?

E.672. Maria s-a dus la piață cu un coș cu flori. La început a vândut o floare și jumătate din ce a rămas. Apoi a vândut două flori și două treimi din ce a rămas, după care a vândut $3$ flori și trei sferturi din florile rămase. În sfârșit, a mai vândut $5$ flori și jumătate din ce a a rămas, iar în coș au mai rămas $4$ flori. Cu câte flori s-a dus Maria la piață?

E.673. Bunicul lui Nicușor are trei bidoane cu apă. Jumătate din cantitatea de apă din primul bidon o împarte în mod egal în celelalte două bidoane. Repetă același procedeu cu al doilea bidon, apoi cu cel de-al treilea, împărțind de fiecare dată jumătate din cantitatea de apă din bidon în mod egal în celelalte două bidoane. În final, în primul bidon sunt $15$ litri de apă, în al doilea $9$ litri, iar în al treilea $10$ litri. Câți litri de apă a avut bunicul la început în fiecare din cele trei bidoane?

E.676. La un tur ciclist, traseul a fost parcurs în $5$ zile astfel: în fiecare din cele $5$ zile s-au parcurs $16 \cdot n$ km și încă o treime din distanța ce a rămas după parcurgerea celor $16 \cdot n$ km în acea zi, unde $n$ reprezintă numărul zilei.
a) Aflați câti kilometri s-au parcurs în a treia zi.
b) Aflați lungimea traseului parcurs.