Exercițiul 668

E.668. Problema hangiului. Trei drumeți au intrat într-un han și au cerut să li se pregătească niște cartofi. Între timp, ei au adormit. Primul care s-a trezit a mâncat a treia parte din cartofi și s-a culcat iarăși. Când s-a trezit al doilea, crezând că este primul care mănâncă, a mâncat a treia parte din cartofii rămași și s-a culcat. În sfârșit, când s-a trezit al treilea drumeț a mâncat și el a treia parte din cartofii rămași și a adormit. Dimineața s-au lămurit. Pe masă mai erau 88 cartofi. Câți cartofi au fost la început pe masă?

Olimpiadă, etapa locală, Vaslui, 2019
Soluție
Soluție:

Metoda mersului invers. Descompunem problema în 33 probleme mai simple:
1. Primul care s-a trezit a mâncat a treia parte din cartofi și s-a culcat. Câți cartofi a găsit el inițial pe masă?
2. Al 2-lea care s-a trezit a mâncat a treia parte din cartofi și s-a culcat. Câți cartofi a găsit el inițial pe masă?
3. Al 3-lea care s-a trezit a mâncat a treia parte din cartofi. Știind că pe masa au rămas 88 cartofi, câți cartofi a găsit el inițial pe masă?

Rezolvăm problemele în ordine inversă:
3. Dacă al treilea drumeț a mâncat 13\dfrac{1}{3} din cartofii găsiți pe masă, înseamnă că cei 88 cartofi rămași reprezintă 23\dfrac{2}{3} din cartofii găsiți pe masă.
∣————–⏟ 1/3 a maˆncat∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⏟8 au ra˘mas∣\underbrace{| \text{--------------} }_{\text{ 1/3 a mâncat}} | \underbrace{ ··············· | ··············· }_{\text{8 au rămas}} |
Așadar, el a mâncat 8:2=48:2=4 cartofi, deci inițial a găsit 4+8=124+8=12 cartofi.

2. Dacă al doilea drumeț a mâncat 13\dfrac{1}{3} din cartofii găsiți pe masă, înseamnă că cei 1212 cartofi rămași reprezintă 23\dfrac{2}{3} din cartofii găsiți pe masă.
∣————–⏟ 1/3 a maˆncat∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⏟12 au ra˘mas∣\underbrace{| \text{--------------} }_{\text{ 1/3 a mâncat}} | \underbrace{ ··············· | ··············· }_{\text{12 au rămas}} |
Așadar, el a mâncat 12:2=612:2=6 cartofi, deci inițial a găsit 6+12=186+12=18 cartofi.

1. Dacă primul drumeț a mâncat 13\dfrac{1}{3} din cartofii găsiți pe masă, înseamnă că cei 1818 cartofi rămași reprezintă 23\dfrac{2}{3} din cartofii găsiți pe masă.
∣————–⏟ 1/3 a maˆncat∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⏟18 au ra˘mas∣\underbrace{| \text{--------------} }_{\text{ 1/3 a mâncat}} | \underbrace{ ··············· | ··············· }_{\text{18 au rămas}} |
Așadar, el a mâncat 18:2=918:2=9 cartofi, deci inițial a găsit 8+18=278+18=27 cartofi.

În concluzie, pe masă au fost inițial 2727 de cartofi.

Metoda algebrică
Notăm cu xx numărul de cartofi care erau inițial pe masă. Rezolvăm problema în ordine cronologică:
1. Primul drumeț mănâncă o treime din x,x, deci îi rămân 23⋅x.\boxed{\dfrac{2}{3} \cdot x}.

2 Al doilea drumeț mănâncă o treime din cât a rămas de la primul, deci îi rămân 23⋅(23⋅x),\dfrac{2}{3} \cdot \bigg(\dfrac{2}{3} \cdot x \bigg), adică 49⋅x.\boxed{\dfrac{4}{9} \cdot x}.

3 Al treilea drumeț mănâncă o treime din cât a rămas de la al doilea, deci îi rămân 23⋅(49⋅x),\dfrac{2}{3} \cdot \bigg(\dfrac{4}{9} \cdot x \bigg), adică 827⋅x.\boxed{\dfrac{8}{27} \cdot x}.

Cum de la al treilea drumeț rămân 88 cartofi, avem 827⋅x=8⇒x=27.\dfrac{8}{27} \cdot x=8 \Rightarrow \boxed{x=27}.