Exercițiul 673

E.673. Bunicul lui Nicușor are trei bidoane cu apă. Jumătate din cantitatea de apă din primul bidon o împarte în mod egal în celelalte două bidoane. Repetă același procedeu cu al doilea bidon, apoi cu cel de-al treilea, împărțind de fiecare dată jumătate din cantitatea de apă din bidon în mod egal în celelalte două bidoane. În final, în primul bidon sunt 1515 litri de apă, în al doilea 99 litri, iar în al treilea 1010 litri. Câți litri de apă a avut bunicul la început în fiecare din cele trei bidoane?

Noemi Vass, Olimpiadă, etapa locală, Mureș, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 16,4,16, 4, respectiv 1414 litri.

Soluție:

Metoda mersului invers. Rezolvăm problema în ordine inversă:

Bidon 1 Bidon 2 Bidon 3
Final 1515 99 1010
(B1,B2)→B3(B_1,B_2) \to B_3 \quad Transferăm 10:2=510:2=5 litri 15−5=1015-5=10 9−5=49-5=4 10+10=2010+10=20
(B1,B3)→B2(B_1,B_3) \to B_2 \quad Transferăm 4:2=24:2=2 litri 10−2=810-2=8 4+4=84+4=8 20−2=1820-2=18
(B2,B3)→B1(B_2,B_3) \to B_1 \quad Transferăm 8:2=48:2=4 litri 8+8=168+8=16 8−4=48-4=4 18−4=1418-4=14

Așadar, în cele 33 bidoane am avut inițial 16,4,16, 4, respectiv 1414 litri.

Metoda algebrică. Notăm cu x,yx,y și zz cantitățile din bidonul 1,21,2 respectiv 3.3. Rezolvăm problema în ordine cronologică:

Bidon 1 Bidon 2 Bidon 3
Inițial xx yy zz
B1→(B2,B3)B_1 \to (B_2, B_3) x2\dfrac{x}{2} x4+y\dfrac{x}{4}+y x4+z\dfrac{x}{4}+z
B2→(B1,B3)B_2 \to (B_1, B_3) x2+14(x4+y)=9x16+y4\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4} \bigg(\dfrac{x}{4} + y \bigg) = \dfrac{9x}{16} + \dfrac{y}{4} 12(x4+y)=x8+y2\dfrac{1}{2} \bigg(\dfrac{x}{4} +y\bigg) = \dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{2} x4+z+14(x4+y)=5x16+y4+z\dfrac{x}{4}+z + \dfrac{1}{4} \bigg(\dfrac{x}{4} +y\bigg)=\dfrac{5x}{16}+\dfrac{y}{4}+z
B3→(B1,B2)B_3 \to (B_1, B_2) 9x16+y4+14(5x16+y4+z)=41x64+5y16+z4\dfrac{9x}{16} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{1}{4} \bigg(\dfrac{5x}{16} + \dfrac{y}{4} + z \bigg) =\dfrac{41x}{64}+\dfrac{5y}{16} + \dfrac{z}{4} x8+y2+14(5x16+y4+z)=13x64+9y16+z4\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4} \bigg(\dfrac{5x}{16} + \dfrac{y}{4} + z \bigg)=\dfrac{13x}{64}+\dfrac{9y}{16} + \dfrac{z}{4} 12(5x16+y4+z)=5x32+y8+z2\dfrac{1}{2} \bigg(\dfrac{5x}{16} + \dfrac{y}{4} + z \bigg)=\dfrac{5x}{32} + \dfrac{y}{8} + \dfrac{z}{2}

Egalând valorile obținute după ultimul transfer cu 15,9,15,9, respectiv 10,10, obținem sistemul:

{41x+20y+16z=960(1)13x+36y+16z=576(2)5x+4y+16z=320(3)⇒{(2)−(3):8x+32y=256∣:2(1)−(3):36x+16y=640⇔{4x+16y=12836x+16y=640⇒(−)32x=512⇒x=16. \begin{cases} 41x + 20y + 16z=960 \quad (1) \\ 13x+36y+16z=576 \quad (2) \\ 5x+4y+16z=320 \quad (3) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (2)-(3): 8x+32y=256 \quad |:2 \\ (1)-(3): 36x+16y=640 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4x+16y=128 \\ 36x+16y=640 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 32x=512 \Rightarrow \boxed{x=16}.
4⋅16+16y=128⇒y=4.4 \cdot 16+16y=128 \Rightarrow \boxed{y=4}.
5⋅16+4⋅4+16z=320⇒z=14.5 \cdot 16+4 \cdot 4+16z=320 \Rightarrow \boxed{z=14}.