Probleme de mișcare

E.674. Trei bicicliști au plecat împreună la ora $10$ din localitatea $A$ către localitatea $B$ astfel: primul merge $20$ minute și stă $5$ minute; al doilea merge $30$ de minute și stă $10$ minute, iar al treilea merge $35$ de minute și stă $15$ minute. Când merg, bicicliștii au aceeași viteză. La ce oră se vor reîntâlni cei trei bicicliști după ce se despart prima oară?

Daniela Tilincă și Adriana Mihăilă, Olimpiadă, etapa locală, Bistrița-Năsăud, 2023

Supliment GM, E14.203, 2014

E.675. Mihai pleacă din Arad spre Sibiu la ora $8$ , conducând un autoturism cu viteza medie de $60$ km pe oră. Dan pleacă din Arad tot spre Sibiu la ora $9,$ pe același drum, conducând o motocicletă cu viteza medie de $90$ km pe oră. La ce distanță de Arad îl ajunge Dan pe Mihai?

Marius Șandru, Olimpiadă, etapa locală, Bistrița-Năsăud, 2019

Supliment GM, E14.321, 2014

Soluție:

$\quad ~~~A ~(Arad)\hspace{5em}~~~M\hspace{5em}Sibiu$
$\quad\quad| \text{-----------------------------} | ······················· |$
$8$ : $00~ | \text{-----------------------------} | ~60~km/h$
$9$ : $00~ | \text{-----------------------------} | ~90~km/h$

Notăm:

$M$ - punctul de întâlnire;
$v_1,v_2$ - viteza cu care se deplasează mașina, respectiv motocicleta;
$t_1,t_2$ - timpul în care se deplasează mașina, respectiv motocicleta.

Folosim formula: $v = \dfrac{d}{t},$ cu varianta $\boxed{ t = \dfrac{d}{v}},$ unde $v,d,t$ reprezintă viteza, distanța, respectiv timpul.

\begin{rcases} t_1=\dfrac{AM}{v_1} \\ t_2=\dfrac{AM}{v_2} \end{rcases} \Rightarrow t_1-t_2 =AM\Big(\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}\Big)\Rightarrow \boxed{AM=\dfrac{v_1v_2(t_1-t_2)}{v_2-v1}}.

După înlocuire,

AM=\dfrac{60 km/h \cdot 90 km/h \cdot 1h}{30 km/h}=180~km.

E.677. Câte sărituri trebuie să facă un câine pentru a ajunge un iepure care este la $75$ de sărituri de iepure, în fața lui? În timp ce câinele face $2$ sărituri, iepurele face $3,$ iar $5$ sărituri de-ale iepurelui fac cât $2$ de-ale câinelui.

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2018

Mate2000, excelență, 1/27. Concursul "Dimitrie Pompeiu", Botoșani, 2012

Soluție:

$A\hspace{4em}B\hspace{10em}C$
$\underbrace{| \underbrace{\text{--------------} }_{75 \cdot y} | \underbrace{······································ }_{m \cdot y} |}_{n \cdot x}$

Notăm:

$n,m$ - numărul de pași făcuți de câine, respectiv iepure;
$x,y$ - lungimea pasului unui câine, respectiv iepure;
$v_c, v_i$ - viteza cu care se deplasează câinele, respectiv iepurele.

Folosim formula: $v = \dfrac{d}{t},$ cu varianta $\boxed{ t = \dfrac{d}{v}},$ unde $v,d,t$ reprezintă viteza, distanța, respectiv timpul.

Din $2x=5y \Rightarrow \boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{2}} \quad (1).$

În același timp ( $t_1$ ), câinele parcurge distanța $2x,$ iar iepurele $3y \Rightarrow t_1 = \dfrac{2x}{v_c} = \dfrac{3y}{vi}\Rightarrow \boxed{\dfrac{v_c}{v_i} = \dfrac{2x}{3y}\overset{(1)}{=}\dfrac{5}{3}}.$

În același timp ( $t_2$ ), câinele parcurge distanța $AC,$ iar iepurele $BC \Rightarrow t_2 = \dfrac{nx}{v_c} = \dfrac{my}{vi}\Rightarrow \boxed{\dfrac{v_c}{v_i} = \dfrac{nx}{my}\overset{(1)}{=}\dfrac{5n}{2m}}.$
Din ultimele două relații avem $\boxed{m=\dfrac{3n}{2}}.$
Din $AC=AB+BC$ avem $nx=75y+my \Leftrightarrow\dfrac{75+m}{n}=\dfrac{x}{y} \overset{(1)}{=} \dfrac{5}{2}.$
Înlocuindu-l pe $m$ obținem $5n = 2\Big(75+ \dfrac{3n}{2}\Big) \Rightarrow \boxed{n=75}.$

E.678. Ogarul Haiduc urmărește iepurele Urechilă. Se știe că, în timp ce Haiduc face două sărituri, Urechilă face trei sărituri, iar prin două sărituri Haiduc parcurge aceeași distanță ca Urechilă în cinci sărituri. Se mai știe că o săritură a iepurelui măsoară $60$ cm și Urechilă sa află în fața lui Haiduc cu $60$ m. Aflați câte sărituri face Haiduc pentru a-l ajunge pe Urechilă și ce distanță parcurge.

Cătălin Budeanu, Concursul "Matematica de drag", Bistrița, 18.11.2016

Balăucă, excelență, 32/87

E.679. Distanța dintre două localități $A$ și $B$ este de $55$ km. La ora $7$ : $00$ pleacă din $A$ spre $B$ un pieton, iar după o oră un autobuz. Autobuzul ajunge pietonul la ora $8$ și $6$ minute, îl depășește, ajunge în $B,$ unde staționează $6$ minute, apoi se întoarce mergând cu aceeași viteză ca la dus. La întoarcere întâlnește pietonul la ora $10$ și $18$ minute. Aflați viteza pietonului și viteza autobuzului.

Ioan Țicalo, Mate2000, excelență, 2/27; Bălăucă, excelență", 31/87