Exercițiul 675

E.675. Mihai pleacă din Arad spre Sibiu la ora 88, conducând un autoturism cu viteza medie de 6060 km pe oră. Dan pleacă din Arad tot spre Sibiu la ora 9,9, pe același drum, conducând o motocicletă cu viteza medie de 9090 km pe oră. La ce distanță de Arad îl ajunge Dan pe Mihai?

Marius Șandru, Olimpiadă, etapa locală, Bistrița-Năsăud, 2019
Supliment GM, E14.321, 2014
Răspuns | Soluție

Răspuns: 180180 km.

Soluție:

   A (Arad)   MSibiu\quad ~~~A ~(Arad)\hspace{5em}~~~M\hspace{5em}Sibiu
∣—————————–∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∣\quad\quad| \text{-----------------------------} | ······················· |
88:00 ∣—————————–∣ 60 km/h00~ | \text{-----------------------------} | ~60~km/h
99:00 ∣—————————–∣ 90 km/h00~ | \text{-----------------------------} | ~90~km/h

Notăm:

  • MM - punctul de întâlnire;
  • v1,v2v_1,v_2 - viteza cu care se deplasează mașina, respectiv motocicleta;
  • t1,t2t_1,t_2 - timpul în care se deplasează mașina, respectiv motocicleta.

Folosim formula: v=dt,v = \dfrac{d}{t}, cu varianta t=dv,\boxed{ t = \dfrac{d}{v}}, unde v,d,tv,d,t reprezintă viteza, distanța, respectiv timpul.

t1=AMv1t2=AMv2}⇒t1−t2=AM(1v1−1v2)⇒AM=v1v2(t1−t2)v2−v1. \begin{rcases} t_1=\dfrac{AM}{v_1} \\ t_2=\dfrac{AM}{v_2} \end{rcases} \Rightarrow t_1-t_2 =AM\Big(\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}\Big)\Rightarrow \boxed{AM=\dfrac{v_1v_2(t_1-t_2)}{v_2-v1}}.
După înlocuire, AM=60km/h⋅90km/h⋅1h30km/h=180 km.AM=\dfrac{60 km/h \cdot 90 km/h \cdot 1h}{30 km/h}=180~km.