Exercițiul 677

E.677. Câte sărituri trebuie să facă un câine pentru a ajunge un iepure care este la 7575 de sărituri de iepure, în fața lui? În timp ce câinele face 22 sărituri, iepurele face 3,3, iar 55 sărituri de-ale iepurelui fac cât 22 de-ale câinelui.

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2018
Mate2000, excelență, 1/27. Concursul "Dimitrie Pompeiu", Botoșani, 2012
Răspuns | Soluție

Răspuns: 75.75.

Soluție:

ABCA\hspace{4em}B\hspace{10em}C
∣————–⏟75⋅y∣⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⏟m⋅y∣⏟n⋅x\underbrace{| \underbrace{\text{--------------} }_{75 \cdot y} | \underbrace{······································ }_{m \cdot y} |}_{n \cdot x}

Notăm:

  • n,mn,m - numărul de pași făcuți de câine, respectiv iepure;
  • x,yx,y - lungimea pasului unui câine, respectiv iepure;
  • vc,viv_c, v_i - viteza cu care se deplasează câinele, respectiv iepurele.

Folosim formula: v=dt,v = \dfrac{d}{t}, cu varianta t=dv,\boxed{ t = \dfrac{d}{v}}, unde v,d,tv,d,t reprezintă viteza, distanța, respectiv timpul.

Din 2x=5y⇒xy=52(1).2x=5y \Rightarrow \boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{2}} \quad (1).

În același timp (t1t_1), câinele parcurge distanța 2x,2x, iar iepurele 3y⇒t1=2xvc=3yvi⇒vcvi=2x3y=(1)53.3y \Rightarrow t_1 = \dfrac{2x}{v_c} = \dfrac{3y}{vi}\Rightarrow \boxed{\dfrac{v_c}{v_i} = \dfrac{2x}{3y}\overset{(1)}{=}\dfrac{5}{3}}.

În același timp (t2t_2), câinele parcurge distanța AC,AC, iar iepurele BC⇒t2=nxvc=myvi⇒vcvi=nxmy=(1)5n2m.BC \Rightarrow t_2 = \dfrac{nx}{v_c} = \dfrac{my}{vi}\Rightarrow \boxed{\dfrac{v_c}{v_i} = \dfrac{nx}{my}\overset{(1)}{=}\dfrac{5n}{2m}}.
Din ultimele două relații avem m=3n2.\boxed{m=\dfrac{3n}{2}}.
Din AC=AB+BCAC=AB+BC avem nx=75y+my⇔75+mn=xy=(1)52.nx=75y+my \Leftrightarrow\dfrac{75+m}{n}=\dfrac{x}{y} \overset{(1)}{=} \dfrac{5}{2}.
Înlocuindu-l pe mm obținem 5n=2(75+3n2)⇒n=75.5n = 2\Big(75+ \dfrac{3n}{2}\Big) \Rightarrow \boxed{n=75}.