Noțiuni și criterii de divizibilitate (recap)

Noțiuni și criterii de divizibilitate (recap)

Dacă se ceree să arătăm că un număr nn este divizibil cu un număr kk avem la dispoziție, în general, două metode:

  1. arătăm că numărul nn se poate scrie sub forma n=k⋅p,n=k \cdot p, unde pe este unu număr natural;
  2. folosim criteriile de divizibilitate cu kk;

Exemplu: Să se arate că 505 ⋮ 5.505~ \vdots ~5.
Metoda 1: 505=5⋅11⇒505 ⋮ 5505=5 \cdot 11 \Rightarrow 505~ \vdots~5;
Metoda 2: Uc(505)=5⇒505 ⋮ 5.U_c(505)=5 \Rightarrow 505~ \vdots~5.

O formulă utilă: (a+b)n=Ma+bn,\boxed{(a+b)^n = M_a + b^n}, cu varianta:

(a−b)n={Ma+bn,daca˘ n este parMa−bn,daca˘ n este impar (a-b)^n = \begin{cases} M_a + b^n, &\text{dacă n este par} \\ M_a - b^n, &\text{dacă n este impar} \end{cases}

Nivel introductiv

E.358. Arătați că numărul a=3n+1⋅2n+3n+2⋅2n+1−16⋅6na=3^{n+1} \cdot 2^n + 3^{n+2} \cdot 2^{n+1} - 16 \cdot 6^n este divizibil cu 5,5, oricare ar fi n∈N.n \in \N.

Olimpiadă, etapa locală, Ilfov, 2020
Soluție
Soluție:

a=3n+1⋅2n+3n+2⋅2n+1−24⋅2n⋅3n=a=3^{n+1} \cdot 2^n + 3^{n+2} \cdot 2^{n+1} - 2^4 \cdot 2^n \cdot 3^n=
=2n⋅3n⋅(3+2⋅32−24)=5⋅2n⋅3n=M5.=2^n \cdot 3^n \cdot (3+2\cdot 3^2-2^4)=5 \cdot 2^n\cdot 3^n=M_5.

E.359. Dacă A=13+132+133+…+132013,A=13+13^2+13^3 + \ldots +13^{2013}, arătați că 11⋅A11 \cdot A este divizibil cu 2013.2013.

Eugen Predoiu, Olimpiadă, etapa locală, Călărași, 2013
Soluție
Soluție:

2013=11⋅183,2013 = 11 \cdot 183, deci este suficient să arătăm că A ⋮ 183.A ~\vdots~183.

A=(13+132+133)+(134+135+136)+…+(132011+132012+132013)=A=(13+13^2+13^3) + (13^4+13^5+13^6) + \ldots + (13^{2011}+13^{2012} + 13^{2013})=
=13(1+13+132⏟183)+134(1+13+132⏟183)+…+132011(1+13+132⏟183)==13(\underbrace{1+13+13^2}_{183})+ 13^4(\underbrace{1+13+13^2}_{183}) + \ldots+13^{2011}(\underbrace{1+13+13^2}_{183})=
=183(13+134+…+132011=M183.=183(13+13^4+\ldots+13^{2011}=M_{183}.

E.694. Să se demonstreze că A=4⋅15n+4⋅134n+342n+1 ⋮ 7, ∀n∈N.A=4\cdot 15^n+4 \cdot 134^n + 34^{2n+1} ~\vdots~7, ~\forall n\in \N.

Gabriela Sascău, Olimpiadă, etapa locală, Suceava, 2013
Soluție
Soluție:

A=4⋅(14+1)n+4⋅(133+1)n+(35−1)2n+1=A=4 \cdot(14+1)^n+4 \cdot (133+1)^n + (35-1)^{2n+1}=
=4(M14⏟M7+1)+4(M133⏟M7+1)+M35⏟M7−1==4( \underbrace{M_{14}}_{M_7}+1) + 4 (\underbrace{M_{133}}_{M_7}+1) + \underbrace{M_{35}}_{M_7}-1=
=4M4+4+4M7+4+M7−1=M7+7=M7.=4M_4+4+4M_7+4+M_7-1=M_7+7 = M_7.

E.695. Arătați că numărul A=782015+682015A=78^{2015}+68^{2015} este divizibil cu 7373.

Olimpiadă, etapa locală, Gorj, 2015
Soluție
Soluție:

A=(73+5)2015+(73−5)2015=M73+52015+M73−52015=M73.A=(73+5)^{2015} + (73-5)^{2015} = M_{73}+\cancel{5^{2015}} + M_{73}-\cancel{5^{2015}}=M_{73}.

E.696. Să se arate că dacă a+3b+5c+7d ⋮ 17,a+3b+5c+7d ~\vdots~ 17, atunci și 53a+57b+61c+65d ⋮ 17.53a+57b+61c+65d ~\vdots~ 17.

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2013
Soluție
Soluție:

53a+57b+61c+65d=(51a+2a)+(51b+6b)+(51c+10c)+(51d+14d)=53a+57b+61c+65d=(51a+2a) + (51b+6b) + (51c+10c)+(51d+14d)=
=51⏟M17(a+b+c+d)+2(a+3b+5c+7d⏟M17)=M17.=\underbrace{51}_{M_{17}}(a+b+c+d)+2(\underbrace{a+3b+5c+7d}_{M_{17}})=M_{17}.

E.697. Arătați că numărul S=63+133+203+…+(7n−1)3+15n ⋮ 7, ∀n∈N.S=6^3+13^3+20^3+ \ldots + (7n-1)^3 + 15n ~\vdots~ 7,~\forall n \in \N.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2013
Soluție
Soluție:

S=(7−1)3+(14−1)3+(21−1)3+…+(7n−1)3+(14n+n)=S=(7-1)^3 + (14-1)^3 + (21-1)^3 + \ldots + (7n-1)^3 + (14n+n)=
=(M7−1)+(M7−1)+…+(M7−1)⏟n paranteze+M7+n==\underbrace{(M_7-1)+(M_7-1)+\ldots+(M_7-1)}_{\text{n paranteze}} + M_7+n=
=n⋅M7−n+M7+n=M7.=n \cdot M_7-n+M_7+n = M_7.

E.698. Determinați numerele naturale abcab‾\overline{abcab} scrise în baza 10,10, divizibile cu 913.913.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: abcab‾=83083.\overline{abcab}=83083.

Soluție:

abcab‾=1000⋅ab‾+100c+ab‾=1001⏟7⋅11⋅13⋅ab‾+100c.\overline{abcab}=1000 \cdot \overline{ab} + 100c+\overline{ab}=\underbrace{1001}_{7 \cdot 11\cdot 13} \cdot \overline{ab} + 100c.

Cum abcab‾ ⋮ 11⇒100⋅c ⋮ 11⇒c=0.\overline{abcab} ~\vdots~ 11 \Rightarrow 100 \cdot c ~\vdots~ 11 \Rightarrow \boxed{c=0}.
7⋅11⋅13⋅ab‾ ⋮ 11⋅83⇒7⋅13⋅ab‾ ⋮ 83⏟prim⇒ab‾=83⇒abcab‾=83083.7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \overline{ab} ~\vdots~ 11 \cdot 83 \Rightarrow 7 \cdot 13 \cdot \overline{ab} ~\vdots~ \underbrace{83}_{prim} \Rightarrow \boxed{\overline{ab}=83} \Rightarrow \boxed{\overline{abcab}=83083}.

E.699. Arătați că dacă numerele a3bc‾, b4cd‾, c5da‾, d6ab‾\overline{a3bc},~\overline{b4cd},~\overline{c5da},~\overline{d6ab} sunt divizibile cu 9,9, atunci abcd‾\overline{abcd} este divizibil cu 3.3.

Erszebet Nagy, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020
Soluție
Soluție:
  • a3bc‾ ⋮ 9⇒a+b+c+3=9m;\overline{a3bc} ~\vdots~ 9 \Rightarrow a+b+c+3 = 9m;
  • b4cd‾ ⋮ 9⇒b+c+d+4=9n;\overline{b4cd} ~\vdots~ 9 \Rightarrow b+c+d+4 = 9n;
  • c5da‾ ⋮ 9⇒a+c+d+5=9p;\overline{c5da} ~\vdots~ 9 \Rightarrow a+c+d+5 = 9p;
  • d6ab‾ ⋮ 9⇒a+b+d+6=9q.\overline{d6ab} ~\vdots~ 9 \Rightarrow a+b+d+6 = 9q.

După adunare, 3(a+b+c+d)+18=9(m+n+p+q)∣:33(a+b+c+d) + 18 = 9(m+n+p+q) \quad |:3
a+b+c+d=3(m+n+p+q)−6=M3⇒abcd‾ ⋮ 3.a+b+c+d = 3(m+n+p+q)-6 = M_3 \Rightarrow \overline{abcd} ~\vdots~3.

E.700. Determinați numerele de forma xy‾,\overline{xy}, astfel încât xy56‾+4xy‾ ⋮ xy‾.\overline{xy56}+\overline{4xy} ~\vdots~ \overline{xy}.

Olimpiadă, etapa locală, Tulcea, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: xy‾∈{12,19,24,38,57,76}.\overline{xy} \in \{12,19,24, 38, 57, 76 \}.

Soluție:

xy56‾+4xy‾ ⋮ xy‾\overline{xy56}+\overline{4xy} ~\vdots~ \overline{xy}
xy‾⋅1000+56+400+xy‾ ⋮ xy‾\overline{xy} \cdot 1000 +56 + 400 + \overline{xy} ~\vdots~ \overline{xy}
xy‾⋅1001+456⏟23⋅3⋅19 ⋮ xy‾⇒xy‾ ∣ 23⋅3⋅19.\overline{xy} \cdot 1001 +\underbrace{456}_{2^3 \cdot 3 \cdot 19} ~\vdots~ \overline{xy} \Rightarrow \boxed{\overline{xy} ~|~ 2^3 \cdot 3 \cdot 19}.

Divizorii lui 23⋅3⋅192^3 \cdot 3 \cdot 19 sunt:

  • cu 2:2: 2,2⋅3,2⋅19,2⋅3⋅19;\quad 2, \quad 2 \cdot 3, \quad 2\cdot 19, \quad 2 \cdot 3 \cdot 19;
  • cu 22:2^2: 22,22⋅3,22⋅19,22⋅3⋅19;\quad 2^2, \quad 2^2 \cdot 3, \quad 2^2\cdot 19, \quad 2^2 \cdot 3 \cdot 19;
  • cu 23:2^3: 23,23⋅3,23⋅19,23⋅3⋅19;\quad 2^3, \quad 2^3 \cdot 3, \quad 2^3\cdot 19, \quad 2^3 \cdot 3 \cdot 19;
  • cu 3:3: 3,3⋅19;\quad 3, \quad 3 \cdot 19;
  • cu 19:19: 19\quad 19
  • și 1.1.

Alegând doar divizorii de două cifre obținem răspunsul căutat: xy‾∈{12,19,24,38,57,76}.\boxed{\overline{xy} \in \{12,19,24, 38, 57, 76 \}}.

E.701. Un număr natural de forma abcd‾\overline{abcd} se numește faimos dacă 5⋅ab‾=3⋅cd‾.5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd}.
a) Arătați că orice număr faimos se divide cu 61.61.
b) Calculați suma tuturor numerelor faimoase.

Gabriela Sascău, Olimpiadă, etapa locală, Suceava, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) S=61⋅5⋅184=56120.S= 61 \cdot 5 \cdot 184 =56120.

Soluție:

a) 5⋅ab‾=3⋅cd‾∣⋅20⇒100⋅ab‾=60⋅cd‾.5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd} \quad |\cdot 20 \Rightarrow \boxed{100 \cdot \overline{ab} = 60 \cdot \overline{cd}}.
abcd‾=100⋅ab‾+cd‾=60⋅cd‾+cd‾=61⋅cd‾=M61.\overline{abcd} = 100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd} = 60 \cdot \overline{cd}+\overline{cd} = 61\cdot \overline{cd} = M_{61}.

b) 3⋅cd‾=M5⇒cd‾∈{10,15,20,…,95}.3 \cdot \overline{cd} = M_5 \Rightarrow \boxed{\overline{cd} \in \{10, 15, 20, \ldots, 95 \}}.

  • din ab‾≥10⇒5⋅ab‾≥50⇒3⋅cd‾≥50⇒cd‾≥20;\overline{ab} \geq 10 \Rightarrow 5 \cdot \overline{ab} \geq 50 \Rightarrow 3 \cdot \overline{cd} \geq 50 \Rightarrow \boxed{\overline{cd}\geq 20};
  • din ab‾≤99⇒5⋅ab‾≤5⋅99⇒3⋅cd‾≤5⋅99\overline{ab} \leq 99 \Rightarrow 5 \cdot \overline{ab} \leq 5 \cdot 99 \Rightarrow 3 \cdot \overline{cd} \leq 5 \cdot 99 - adevărat.

Deci cd‾∈{20,25,25,…,95}.\boxed{\overline{cd} \in \{20, 25, 25, \ldots, 95 \}}.
Cum la punctul a) am aflat că abcd‾=61⋅cd‾,\overline{abcd} =61 \cdot \overline{cd}, avem:
S=61⋅5⋅(4+5+⋅+19)=61⋅5⋅184=56120.S=61 \cdot 5 \cdot (4+5+ \cdot + 19) = 61 \cdot 5 \cdot 184 =56120.

E.702. Determinați numerele de forma abcdef‾,\overline{abcdef}, știind că {a,b,c,d,e,f}={1,2,3,4,5,6}, abcdef‾ ⋮ 6, abcde‾ ⋮ 5, abcd‾ ⋮ 4, abc‾ ⋮ 3, ab‾ ⋮ 2.\{a,b,c,d,e,f\} = \{1,2,3,4,5,6\},~ \overline{abcdef} ~\vdots~6, ~ \overline{abcde} ~\vdots~5,~ \overline{abcd} ~\vdots~4, ~ \overline{abc} ~\vdots~3, ~ \overline{ab} ~\vdots~2.

Olimpiadă, etapa locală, Neamț, 2020
Soluție
Soluție:

{a,b,c,d,e,f}={1,2,3,4,5,6},\{a,b,c,d,e,f\} = \{1,2,3,4,5,6\}, deci cifrele nu se repetă.

  • abcde‾ ⋮ 5⇒e=5\overline{abcde} ~\vdots~ 5 \Rightarrow \boxed{e=5} și {a,b,c,d,f}={1,2,3,4,6};\{a,b,c,d,f\} = \{1,2,3,4,6\};
  • abcdef‾ ⋮ 6, abcd‾ ⋮ 4, ab‾ ⋮ 2⇒{b,d,f}={2,4,6}⇒{a,c}={1,3};\overline{abcdef} ~\vdots~6, ~ \overline{abcd} ~\vdots~4, ~ \overline{ab} ~\vdots~2 \Rightarrow \boxed{\{b,d,f\} = \{2,4,6\}} \Rightarrow \boxed{\{a,c\} = \{1,3\}};
  • abc‾ ⋮ 3⇒(a+b+c) ⋮ 3⇒(4+b) ⋮ 3⇒b=2⇒{d,f}={4,6};\overline{abc} ~\vdots~3 \Rightarrow (a+b+c) ~\vdots~ 3 \Rightarrow (4+b) ~\vdots~ 3 \Rightarrow \boxed{b=2} \Rightarrow \boxed{\{d,f\} = \{4,6\}};
  • abcd‾ ⋮ 4⇒cd‾ ⋮ 4⇒cd‾∈{16,36}⇒d=6⇒f=4;\overline{abcd} ~\vdots~4 \Rightarrow \overline{cd} ~\vdots~4 \Rightarrow \overline{cd} \in \{16,36\} \Rightarrow \boxed{d=6} \Rightarrow \boxed{f=4};
    • dacă c=1⇒a=3→abcdef‾=321654;\boxed{c=1} \Rightarrow \boxed{a=3} \rightarrow \boxed{\overline{abcdef} = 321654};
    • dacă c=3⇒a=1→abcdef‾=123654.\boxed{c=3} \Rightarrow \boxed{a=1} \rightarrow \boxed{\overline{abcdef} = 123654}.

E.703. Fie aa și bb numere naturale nenule, astfel încât a∣a⋅b+ba|a \cdot b+b și b∣a⋅b+a.b|a \cdot b + a. Arătați că a=b.a=b.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2024

E.704. Să se arate că numărul n=1+25+210+…+22025n=1+2^5+2^{10}+\ldots+2^{2025} este divizibil cu 33.33.

Olimpiadă, etapa locală, Bihor, 2025

E.705. Să se arate că numărul A=20232023+20242024+20252025A=2023^{2023} + 2024^{2024} + 2025^{2025} este divizibil cu 23.23.

Olimpiadă, etapa locală, Galați, 2024

E.706. Să se arate că numărul A=20222023+20232023+20242023A=2022^{2023}+2023^{2023} + 2024^{2023} este divizibil cu 17.17.

Alina Chiricioglu, Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2024

E.707. Să se arate că, dacă ab‾  ⋮ (a+b)\overline{ab} ~~\vdots~ (a+b) atunci și ba‾  ⋮ (a+b),\overline{ba} ~~ \vdots ~ (a+b), oricare ar fi cifrele a,ba,b nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2024
Nume CreatLa (UTC)
Tema7: Noțiuni și criterii de divizibilitate 15-01-2025 05:40