Exercițiul 699

E.699. Arătați că dacă numerele a3bc‾, b4cd‾, c5da‾, d6ab‾\overline{a3bc},~\overline{b4cd},~\overline{c5da},~\overline{d6ab} sunt divizibile cu 9,9, atunci abcd‾\overline{abcd} este divizibil cu 3.3.

Erszebet Nagy, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020
Soluție
Soluție:
  • a3bc‾ ⋮ 9⇒a+b+c+3=9m;\overline{a3bc} ~\vdots~ 9 \Rightarrow a+b+c+3 = 9m;
  • b4cd‾ ⋮ 9⇒b+c+d+4=9n;\overline{b4cd} ~\vdots~ 9 \Rightarrow b+c+d+4 = 9n;
  • c5da‾ ⋮ 9⇒a+c+d+5=9p;\overline{c5da} ~\vdots~ 9 \Rightarrow a+c+d+5 = 9p;
  • d6ab‾ ⋮ 9⇒a+b+d+6=9q.\overline{d6ab} ~\vdots~ 9 \Rightarrow a+b+d+6 = 9q.

După adunare, 3(a+b+c+d)+18=9(m+n+p+q)∣:33(a+b+c+d) + 18 = 9(m+n+p+q) \quad |:3
a+b+c+d=3(m+n+p+q)−6=M3⇒abcd‾ ⋮ 3.a+b+c+d = 3(m+n+p+q)-6 = M_3 \Rightarrow \overline{abcd} ~\vdots~3.