Exercițiul 701

E.701. Un număr natural de forma abcd‾\overline{abcd} se numește faimos dacă 5⋅ab‾=3⋅cd‾.5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd}.
a) Arătați că orice număr faimos se divide cu 61.61.
b) Calculați suma tuturor numerelor faimoase.

Gabriela Sascău, Olimpiadă, etapa locală, Suceava, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) S=61⋅5⋅184=56120.S= 61 \cdot 5 \cdot 184 =56120.

Soluție:

a) 5⋅ab‾=3⋅cd‾∣⋅20⇒100⋅ab‾=60⋅cd‾.5 \cdot \overline{ab} = 3 \cdot \overline{cd} \quad |\cdot 20 \Rightarrow \boxed{100 \cdot \overline{ab} = 60 \cdot \overline{cd}}.
abcd‾=100⋅ab‾+cd‾=60⋅cd‾+cd‾=61⋅cd‾=M61.\overline{abcd} = 100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd} = 60 \cdot \overline{cd}+\overline{cd} = 61\cdot \overline{cd} = M_{61}.

b) 3⋅cd‾=M5⇒cd‾∈{10,15,20,…,95}.3 \cdot \overline{cd} = M_5 \Rightarrow \boxed{\overline{cd} \in \{10, 15, 20, \ldots, 95 \}}.

  • din ab‾≥10⇒5⋅ab‾≥50⇒3⋅cd‾≥50⇒cd‾≥20;\overline{ab} \geq 10 \Rightarrow 5 \cdot \overline{ab} \geq 50 \Rightarrow 3 \cdot \overline{cd} \geq 50 \Rightarrow \boxed{\overline{cd}\geq 20};
  • din ab‾≤99⇒5⋅ab‾≤5⋅99⇒3⋅cd‾≤5⋅99\overline{ab} \leq 99 \Rightarrow 5 \cdot \overline{ab} \leq 5 \cdot 99 \Rightarrow 3 \cdot \overline{cd} \leq 5 \cdot 99 - adevărat.

Deci cd‾∈{20,25,25,…,95}.\boxed{\overline{cd} \in \{20, 25, 25, \ldots, 95 \}}.
Cum la punctul a) am aflat că abcd‾=61⋅cd‾,\overline{abcd} =61 \cdot \overline{cd}, avem:
S=61⋅5⋅(4+5+⋅+19)=61⋅5⋅184=56120.S=61 \cdot 5 \cdot (4+5+ \cdot + 19) = 61 \cdot 5 \cdot 184 =56120.