E.830. Triunghiul ABC are latura BC inclusă în planul α, iar A∈α. Dacă AB=6 cm, AC=18 cm, iar punctele E și F sunt situate pe laturile AB și AC astfel încât AE=2 cm și CF=12 cm, demonstrați că EF∥α.
E.831. Fie piramida patrulateră VABCD, în care notăm cu E și F centrele de greutate ale fețelor VAD și respectiv VBC. Arătați că dreapta EF este paralelă cu baza (ABC).
Indicații: La 2, prelungim VE și VF până atunci laturile AD și BC. În triunghiul astfel format, latura EF este paralelă cu baza.
Soluție:
Fie VM și VN mediane în triunghiurile VAD,respectiv VBC. E și F fiind centre de greutate, înseamnă că ele se află pe aceste mediane, la două treimi de vârf.
VMVE=VNVF(=32)⇒EF∥MN.EF∥MBMN⊂(ABC)EF⊂(ABC)⎭⎬⎫⇒EF∥(ABC).
E.832.(Teorema acoperișului) Fie planele α și β a căror intersecție este dreapta h. Fie dreptele d și g, distincte de dreapta h, astfel încât d⊂α,g⊂β și d∥g. Arătați că d∥h.
Presupunem d⊂βdar d⊂α}⇒d=α∩β=h - contradicție cu dși h distincte. Deci d⊂β.d∥gg⊂βd⊂β⎭⎬⎫⇒d∥β(1)
Dreptelele d și h sunt coplanare. Presupunem d∥h, cu d∩h={A}, deci A∈h și A∈d (2)
A∈hh⊂β}⇒A∈β(3)
Din (2), (3) ⇒d∥β - contradicție cu (1).
Așadar, presupunerea făcută este falsă. Rezultă d∥h.
E.833. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată, cu vârful V, și fie punctele M∈VD,N∈VA, astfel încât BM⊥VD și CN⊥VA. Arătați că MN∥(ABC).
E.834. În tetraedrul ABCD se notează cu M mijlocul laturii BC. Fie MN bisectoarea unghiului AMB,N∈AB și fie MP bisectoarea unghiului AMC,P∈AC. Stabiliți poziția dreptei NP față de planul (BCD).
