Exercițiul 831

E.831. Fie piramida patrulateră VABCD,VABCD, în care notăm cu EE și FF centrele de greutate ale fețelor VADVAD și respectiv VBC.VBC. Arătați că dreapta EFEF este paralelă cu baza (ABC).(ABC).

Art, 17/126, **
Indicații (1) | Soluție

Indicații: La 2, prelungim VE și VF până atunci laturile AD și BC. În triunghiul astfel format, latura EF este paralelă cu baza.

Soluție:

Fie VMVM și VNVN mediane în triunghiurile VAD,VAD,respectiv VBC.VBC.
EE și FF fiind centre de greutate, înseamnă că ele se află pe aceste mediane, la două treimi de vârf. VEVM=VFVN(=23)⇒EF∥MN.\dfrac{VE}{VM} = \dfrac{VF}{VN} \Big(=\dfrac{2}{3}\Big) \Rightarrow EF \parallel MN.

EF∥MBMN⊂(ABC)EF⊄(ABC)}⇒EF∥(ABC). \begin{rcases} EF \parallel MB \\ MN \subset (ABC) \\ EF \not \subset (ABC) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{EF \parallel (ABC)}.