Exercițiul 832

E.832. (Teorema acoperișului) Fie planele α\alpha și β\beta a căror intersecție este dreapta h.h. Fie dreptele dd și g,g, distincte de dreapta h,h, astfel încât d⊂α, g⊂βd \subset \alpha,~g \subset \beta și d∥g.d \parallel g. Arătați că d∥h.d \parallel h.

Art, 21/126, **
Soluție
Soluție:

Presupunem d⊂βdar d⊂α}⇒d=α∩β=h - contradicție cu d și h distincte. Deci d⊄β. \begin{rcases} \text{Presupunem } d \subset \beta \\ \text{dar } d \subset \alpha \end{rcases} \Rightarrow d = \alpha \cap \beta = h \text{ - contradicție cu } d \text{ și } h \text{ distincte. Deci } \boxed{d \not \subset \beta}.
d∥gg⊂βd⊄β}⇒d∥β (1) \begin{rcases} d \parallel g \\ g \subset \beta \\ d \not \subset \beta \end{rcases} \Rightarrow \boxed{d \parallel \beta} ~(1)

Dreptelele dd și hh sunt coplanare. Presupunem d∦h,d \not \parallel h, cu d∩h={A},d \cap h = \{A\}, deci A∈h\boxed{A \in h} și A∈d\boxed{A \in d} (2)

A∈hh⊂β}⇒A∈β (3) \begin{rcases} A \in h \\ h \subset \beta \end{rcases} \Rightarrow \boxed{A \in \beta} ~(3)
Din (2), (3) ⇒d∦β\Rightarrow d \not \parallel \beta - contradicție cu (1).
Așadar, presupunerea făcută este falsă. Rezultă d∥h.\boxed{d \parallel h}.