E.834. În tetraedrul ABCDABCDABCD se notează cu MMM mijlocul laturii BC.BC.BC. Fie MNMNMN bisectoarea unghiului AMB, N∈ABAMB,~ N \in ABAMB, N∈AB și fie MPMPMP bisectoarea unghiului AMC, P∈AC.AMC, ~P \in AC.AMC, P∈AC. Stabiliți poziția dreptei NPNPNP față de planul (BCD).(BCD).(BCD).
Indicații: Aplicăm de două ori T . bisectoarei și ajungem astfel la NP || BC.
În triunghiul AMB, MNAMB,~MNAMB, MN bisectoare ⇒ANNB=AMMB(1)\Rightarrow \dfrac{AN}{NB} = \dfrac{AM}{MB} \quad (1)⇒NBAN=MBAM(1)
În triunghiul AMC, MPAMC,~MPAMC, MP bisectoare ⇒APPC=AMMC(2)\Rightarrow \dfrac{AP}{PC} = \dfrac{AM}{MC} \quad (2)⇒PCAP=MCAM(2)
Din (1), (2) și MB=MC⇒ANNB=APPC⇒NP∥BC.MB=MC \Rightarrow \dfrac{AN}{NB} = \dfrac{AP}{PC} \Rightarrow \boxed{NP \parallel BC}.MB=MC⇒NBAN=PCAP⇒NP∥BC. NP∥BCBC⊂(BCD)NP⊄(BCD)}⇒NP∥(BDC). \begin{rcases} NP \parallel BC \\ BC \subset (BCD)\\ NP \not \subset (BCD) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{NP \parallel (BDC)}. NP∥BCBC⊂(BCD)NP⊂(BCD)⎭⎬⎫⇒NP∥(BDC).
