Drepte paralele. Unghiul a două drepte

Drepte paralele. Unghiul a două drepte

Nivel introductiv

E.229. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată cu fețele laterale triunghiuri echilaterale de muchie aa. Calculați unghiul dintre VDVD și AB.AB.

E.231. Fie VABCVABC un tetraedru regulat de muchie aa. Calculați unghiul dintre VAVA și BC.BC.

E.815. În prisma patrulateră regulată dreaptă ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D', cu AB=12AB=12 cm si AA′=24AA'=24 cm, EE și FF sunt mijloacele muchiilor BB′,BB', repectiv CC′.CC'. Aflați măsura unghiului format de dreptele CECE și D′F.D'F.

Mate2000, 13/124, ***
Răspuns | Soluție

Răspuns: 60°.60\degree.

Soluție:

EB′∥≡CF⇒EB′FCEB' \parallel \equiv CF \Rightarrow EB'FC paralelogram ⇒CE∥FB′⇒∡(CE,D′F)=∡(FB′,D′F)=∡B′FD′=α.\Rightarrow CE \parallel FB' \Rightarrow \measuredangle(CE,D'F) = \measuredangle(FB',D'F) = \measuredangle{B'FD'} = \alpha.
Cum FF este mijlocul lui CC′⇒C′F=C′B′=C′D′=12CC' \Rightarrow C'F=C'B'=C'D'=12 cm.
B′D′≡D′F≡FB′B'D' \equiv D'F \equiv FB' (ipotenuze în triunghiuri congruente) ⇒△B′FD′\Rightarrow \triangle B'FD' echilateral ⇒α=60°⇒∡(CE,D′F)=60°.\Rightarrow \alpha=60\degree \Rightarrow \boxed{ \measuredangle(CE,D'F) = 60 \degree}.

E.816. Fie ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' un cub. Dacă AC∩BD={O},AC \cap BD = \{O\}, aflați măsurile unghiurilor formate de dreptele:
a) A′BA'B și AC;AC;\quad b) D′OD'O și BC′.BC'.

Mate2000, 16/124, ***

E.817. Fie ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' un paralelipiped dreptunghic cu AB=62AB=6\sqrt{2} cm, BC=6BC=6 cm, AA′=62AA'=6\sqrt{2} cm. Punctul MM este centrul feței ABB′A′,ABB'A', punctul PP este mijlocul muchiei AA′AA' și NN este mijlocul diagonalei AD′.AD'.
a) Arătați că dreptele BPBP și CNCN sunt coplanare.
b) Calculați tangenta unghiului format de dreptele MNMN și BC.BC.

Mate2000, 18/124, ***
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: a): Două drepte paralele determină un plan. În cazul nostru, PN∥BC.PN \parallel BC.

Indicația 2: b): Demonstrăm că MN∥B′D′.MN \parallel B'D'.

Soluție:

a) ADD′A′ADD'A' dreptunghi, AN=ND′⇒A′N=ND.AN=ND' \Rightarrow \boxed{A'N=ND}.
În triunghiul A′AD, PNA'AD,~PN linie mijlocie ⇒PN∥AD.\Rightarrow PN \parallel AD. Dar AD∥BC⇒PN∥BC.AD \parallel BC \Rightarrow \boxed{PN \parallel BC}.
Două drepte paralele determină un plan, deci punctele P,NP,N și B,CB,C sunt coplanare ⇒dreptele BP și CN sunt complanare.\Rightarrow \boxed{\text{dreptele } BP \text{ și } CN \text{ sunt complanare}}.

b) În triunghiul A′BD, MNA'BD,~MN linie mijlocie ⇒MN∥BD⇒∡(MN,BC)=∡(BD,BC)=α.\Rightarrow MN \parallel BD \Rightarrow \measuredangle(MN,BC) = \measuredangle(BD,BC)=\alpha.
În triunghiul dreptunghic BCD,tan⁡α=DCBC=626=2,BCD, \tan \alpha = \dfrac{DC}{BC} = \dfrac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}, deci tan⁡∡(MN,BC)=2.\boxed{\tan \measuredangle(MN,BC)=\sqrt{2}}.

E.818. Se consideră un con circular drept cu vârful în VV și generatoarea g=2g=2 cm. Pe cercul C\cal C(O,2)(O,\sqrt{2}) al bazei acestui con se aleg punctele A,B,CA,B,C și DD astfel încât ABAB și CDCD sunt două diametre perpendiculare ale bazei conului. Calculați măsurile unghiurilor formate de dreptele:
a) VAVA și VO;VO;\quad b) VAVA și BC.BC.

Art, 30/122, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: ABCDABCD este un pătrat, deci avem de calculat unghiul dintre două muchii ale piramidei patrulatere regulate ABCD.ABCD.

Răspuns: a) 45°;45\degree; \quad b) 60°.60\degree.

Soluție:

a) Într-un cerc, vârfurile a două diametre perpendiculare determină un pătrat ⇒VACBD\Rightarrow VACBD este o piramidă patrulateră regulată.
În pătratul ACBD, AB=2⋅AO=22⇒AC=2 cm.ACBD,~AB=2\cdot AO = 2\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{AC=2 \text{ cm}}.

În triunghiul dreptunghic AVO, sin⁡(AVO^)=AOAV=22⇒∡(VA,VO)=45°.AVO, ~\sin(\widehat{AVO}) = \dfrac{AO}{AV} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \boxed{\measuredangle (VA,VO)=45\degree}.

b) ACBDACBD pătrat ⇒BC∥AD⇒∡(VA,BC)=∡(VA,AD).\Rightarrow BC \parallel AD \Rightarrow \measuredangle (VA,BC) = \measuredangle (VA,AD).
Cum triunghiul VADVAD este echilateral (VA=VD=AD=2 cm)⇒∡VAD=60°⇒∡(VA,BC)=60°.(VA=VD=AD=2 \text{ cm}) \Rightarrow \measuredangle VAD = 60\degree \Rightarrow \boxed{\measuredangle (VA,BC)=60\degree}.

E.819. Fie piramida triunghiulară regulată VABC,VABC, cu baza ABC,ABC, și fie G1,G2G_1,G_2 și G3G_3 centrele de greutate ale fețelor (ABC),(VAB)(ABC),(VAB) și (VBC).(VBC). Arătați că ∡(VA,G1,G2)=∡(VC,G1,G3).\measuredangle(VA,G_1, G_2)=\measuredangle(VC,G_1, G_3).

Art, 32/122, ***

E.820. În tetraedrul regulat ABCD,ABCD, cu AB=20AB=20 cm, punctele MM și NN sunt mijloacele muchiilor AB,AB, respectiv CD.CD. Determinați măsura unghiului format de dreptele MNMN și BD.BD.

Simulare EN, martie, 2025
Soluție
Soluție:

Fie PP mijlocul lui AD.AD.
În triunghiul ABD, MPABD,~MP linie mijlocie ⇒BD∥MP⇒∡(MN,BD)=∡(MN,MP)=∡NMP=α.\Rightarrow BD \parallel MP \Rightarrow \measuredangle(MN,BD) = \measuredangle(MN,MP) = \measuredangle{NMP} = \alpha.

PMPM și PNPN sunt linii mijlocii ⇒PM=PN=10 cm.\Rightarrow \boxed{PM=PN=10 \text{ cm}}.
În triunghiul echilateral BCD, BNBCD, ~BN este înălțime ⇒BN=2032,\Rightarrow BN=\dfrac{20\sqrt{3}}{2}, deci BN=103.\boxed{BN=10\sqrt{3}}.
În triunghiul isoscel ANB (AN=BN=103),ANB ~(AN = BN = 10\sqrt{3}), mediana NMNM este și înălțime ⇒∡BMN=90°.\Rightarrow \boxed{\measuredangle{BMN}=90\degree}.
În triunghiul dreptunghic BMN,MN2=BN2−BM2=300−100,BMN, MN^2=BN^2-BM^2 = 300-100, deci MN=102.\boxed{MN=10\sqrt{2}}.

În triunghiul isoscel PMN⇒RTP∡P=90°⇒∡M=45°⇒∡(MN,MP)=45°.PMN \overset{RTP}{\Rightarrow} \measuredangle{P}=90\degree \Rightarrow \measuredangle{M}=45\degree \Rightarrow\boxed{\measuredangle(MN,MP) = 45\degree}.

E.821. Fie ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' un cub, MM mijlocul muchiei BC,BC, iar AM=65AM=6\sqrt{5} cm. Determinați sinusul unghiului format de dreptele BC′BC' și DM.DM.

Simulare ISJ Botoșani, decembrie, 2024
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: În triunghiul BCC′BCC' construim linia mijlocie MN.MN. Unghiul căutat îl obținem din triunghiul isoscel DMNDMN la care cunoaștem toate laturile.

Răspuns: sin⁡∡(BC′,DM)=31010.\sin \measuredangle(BC',DM) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}.

Soluție:

Notăm cu aa lungimea laturii cubului și cu NN mijlocul muchiei CC′.CC'.
În triunghiul BCC′, MNBCC',~MN linie mijlocie ⇒BC′∥MN⇒∡(BC′,DM)=∡(MN,DM)=∡DMN=α.\Rightarrow BC' \parallel MN \Rightarrow \measuredangle(BC',DM) = \measuredangle(MN,DM) = \measuredangle{DMN} = \alpha.

În triunghiul dreptunghic ABM, (65)2=a2+a24⇒a=12⇒BC′=122⇒MN=62.ABM,~(6\sqrt{5})^2 = a^2+ \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow \boxed{a=12} \Rightarrow BC'=12\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{MN=6\sqrt{2}}.

În triunghiul dreptunghic isoscel DMNDMN (cu DM=DN=65DM=DN=6\sqrt{5}), considerăm DPDP mediană și înălțime.
În triunghiul dreptunghic DPM, DP2=DM2−MP2=36⋅5−9⋅2⇒DP=92.DPM,~ DP^2=DM^2-MP^2 = 36 \cdot 5 - 9 \cdot 2 \Rightarrow \boxed{DP=9\sqrt{2}}.
În același triunghi DPM, sin⁡α=DPDM=9265,DPM,~ \sin \alpha = \dfrac{DP}{DM} = \dfrac{9\sqrt{2}}{6\sqrt{5}}, deci sin⁡∡(BC′,DM)=31010.\boxed{\sin \measuredangle(BC',DM) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}}.

Nivel mediu

E.228. Fie ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' un cub de muchie aa. Calculați unghiul dintre AC′AC' și A′D.A'D.

Nivel avansat

E.230. Fie VABCVABC un tetraedru regulat de muchie aa și DD mijlocul lui (AV).(AV). Calculați sinusul unghiului dintre VBVB și CD.CD.

Nume CreatLa (UTC)
Tema - Unghiul dintre două drepte necoplanare 21-05-2024 08:07
TemaX-clsundefined: Drepte paralele. Unghiul a două drepte necoplanare 24-05-2024 10:12
Tema8: Drepte paralele. Unghiul a două drepte 16-11-2025 17:19
Tema3-Maria: Drepte paralele. Unghiul a două drepte 16-11-2025 17:20