Exercițiul 818

E.818. Se consideră un con circular drept cu vârful în VV și generatoarea g=2g=2 cm. Pe cercul C\cal C(O,2)(O,\sqrt{2}) al bazei acestui con se aleg punctele A,B,CA,B,C și DD astfel încât ABAB și CDCD sunt două diametre perpendiculare ale bazei conului. Calculați măsurile unghiurilor formate de dreptele:
a) VAVA și VO;VO;\quad b) VAVA și BC.BC.

Art, 30/122, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: ABCDABCD este un pătrat, deci avem de calculat unghiul dintre două muchii ale piramidei patrulatere regulate ABCD.ABCD.

Răspuns: a) 45°;45\degree; \quad b) 60°.60\degree.

Soluție:

a) Într-un cerc, vârfurile a două diametre perpendiculare determină un pătrat ⇒VACBD\Rightarrow VACBD este o piramidă patrulateră regulată.
În pătratul ACBD, AB=2⋅AO=22⇒AC=2 cm.ACBD,~AB=2\cdot AO = 2\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{AC=2 \text{ cm}}.

În triunghiul dreptunghic AVO, sin⁡(AVO^)=AOAV=22⇒∡(VA,VO)=45°.AVO, ~\sin(\widehat{AVO}) = \dfrac{AO}{AV} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \boxed{\measuredangle (VA,VO)=45\degree}.

b) ACBDACBD pătrat ⇒BC∥AD⇒∡(VA,BC)=∡(VA,AD).\Rightarrow BC \parallel AD \Rightarrow \measuredangle (VA,BC) = \measuredangle (VA,AD).
Cum triunghiul VADVAD este echilateral (VA=VD=AD=2 cm)⇒∡VAD=60°⇒∡(VA,BC)=60°.(VA=VD=AD=2 \text{ cm}) \Rightarrow \measuredangle VAD = 60\degree \Rightarrow \boxed{\measuredangle (VA,BC)=60\degree}.