Exercițiul 817

E.817. Fie ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' un paralelipiped dreptunghic cu AB=62AB=6\sqrt{2} cm, BC=6BC=6 cm, AA′=62AA'=6\sqrt{2} cm. Punctul MM este centrul feței ABB′A′,ABB'A', punctul PP este mijlocul muchiei AA′AA' și NN este mijlocul diagonalei AD′.AD'.
a) Arătați că dreptele BPBP și CNCN sunt coplanare.
b) Calculați tangenta unghiului format de dreptele MNMN și BC.BC.

Mate2000, 18/124, ***
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: a): Două drepte paralele determină un plan. În cazul nostru, PN∥BC.PN \parallel BC.

Indicația 2: b): Demonstrăm că MN∥B′D′.MN \parallel B'D'.

Soluție:

a) ADD′A′ADD'A' dreptunghi, AN=ND′⇒A′N=ND.AN=ND' \Rightarrow \boxed{A'N=ND}.
În triunghiul A′AD, PNA'AD,~PN linie mijlocie ⇒PN∥AD.\Rightarrow PN \parallel AD. Dar AD∥BC⇒PN∥BC.AD \parallel BC \Rightarrow \boxed{PN \parallel BC}.
Două drepte paralele determină un plan, deci punctele P,NP,N și B,CB,C sunt coplanare ⇒dreptele BP și CN sunt complanare.\Rightarrow \boxed{\text{dreptele } BP \text{ și } CN \text{ sunt complanare}}.

b) În triunghiul A′BD, MNA'BD,~MN linie mijlocie ⇒MN∥BD⇒∡(MN,BC)=∡(BD,BC)=α.\Rightarrow MN \parallel BD \Rightarrow \measuredangle(MN,BC) = \measuredangle(BD,BC)=\alpha.
În triunghiul dreptunghic BCD,tan⁡α=DCBC=626=2,BCD, \tan \alpha = \dfrac{DC}{BC} = \dfrac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}, deci tan⁡∡(MN,BC)=2.\boxed{\tan \measuredangle(MN,BC)=\sqrt{2}}.