Exercițiul 820

E.820. În tetraedrul regulat ABCD,ABCD, cu AB=20AB=20 cm, punctele MM și NN sunt mijloacele muchiilor AB,AB, respectiv CD.CD. Determinați măsura unghiului format de dreptele MNMN și BD.BD.

Simulare EN, martie, 2025
Soluție
Soluție:

Fie PP mijlocul lui AD.AD.
În triunghiul ABD, MPABD,~MP linie mijlocie ⇒BD∥MP⇒∡(MN,BD)=∡(MN,MP)=∡NMP=α.\Rightarrow BD \parallel MP \Rightarrow \measuredangle(MN,BD) = \measuredangle(MN,MP) = \measuredangle{NMP} = \alpha.

PMPM și PNPN sunt linii mijlocii ⇒PM=PN=10 cm.\Rightarrow \boxed{PM=PN=10 \text{ cm}}.
În triunghiul echilateral BCD, BNBCD, ~BN este înălțime ⇒BN=2032,\Rightarrow BN=\dfrac{20\sqrt{3}}{2}, deci BN=103.\boxed{BN=10\sqrt{3}}.
În triunghiul isoscel ANB (AN=BN=103),ANB ~(AN = BN = 10\sqrt{3}), mediana NMNM este și înălțime ⇒∡BMN=90°.\Rightarrow \boxed{\measuredangle{BMN}=90\degree}.
În triunghiul dreptunghic BMN,MN2=BN2−BM2=300−100,BMN, MN^2=BN^2-BM^2 = 300-100, deci MN=102.\boxed{MN=10\sqrt{2}}.

În triunghiul isoscel PMN⇒RTP∡P=90°⇒∡M=45°⇒∡(MN,MP)=45°.PMN \overset{RTP}{\Rightarrow} \measuredangle{P}=90\degree \Rightarrow \measuredangle{M}=45\degree \Rightarrow\boxed{\measuredangle(MN,MP) = 45\degree}.