Exercițiul 821

E.821. Fie ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' un cub, MM mijlocul muchiei BC,BC, iar AM=65AM=6\sqrt{5} cm. Determinați sinusul unghiului format de dreptele BC′BC' și DM.DM.

Simulare ISJ Botoșani, decembrie, 2024
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: În triunghiul BCC′BCC' construim linia mijlocie MN.MN. Unghiul căutat îl obținem din triunghiul isoscel DMNDMN la care cunoaștem toate laturile.

Răspuns: sin⁡∡(BC′,DM)=31010.\sin \measuredangle(BC',DM) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}.

Soluție:

Notăm cu aa lungimea laturii cubului și cu NN mijlocul muchiei CC′.CC'.
În triunghiul BCC′, MNBCC',~MN linie mijlocie ⇒BC′∥MN⇒∡(BC′,DM)=∡(MN,DM)=∡DMN=α.\Rightarrow BC' \parallel MN \Rightarrow \measuredangle(BC',DM) = \measuredangle(MN,DM) = \measuredangle{DMN} = \alpha.

În triunghiul dreptunghic ABM, (65)2=a2+a24⇒a=12⇒BC′=122⇒MN=62.ABM,~(6\sqrt{5})^2 = a^2+ \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow \boxed{a=12} \Rightarrow BC'=12\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{MN=6\sqrt{2}}.

În triunghiul dreptunghic isoscel DMNDMN (cu DM=DN=65DM=DN=6\sqrt{5}), considerăm DPDP mediană și înălțime.
În triunghiul dreptunghic DPM, DP2=DM2−MP2=36⋅5−9⋅2⇒DP=92.DPM,~ DP^2=DM^2-MP^2 = 36 \cdot 5 - 9 \cdot 2 \Rightarrow \boxed{DP=9\sqrt{2}}.
În același triunghi DPM, sin⁡α=DPDM=9265,DPM,~ \sin \alpha = \dfrac{DP}{DM} = \dfrac{9\sqrt{2}}{6\sqrt{5}}, deci sin⁡∡(BC′,DM)=31010.\boxed{\sin \measuredangle(BC',DM) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}}.