Piramida, tetraedrul

Piramida, tetraedrul

Nivel introductiv

E.416. Piramida regulată VABCVABC are baza un triunghi echilateral cu aria 36336\sqrt{3} cm2.^2. Dacă ∡VAB=30°,\measuredangle VAB=30\degree, calculați aria triunghiului VAB.VAB.

Mate2000, 6/111, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Din formula ariei, aflăm aria triunghiului ABC.ABC.

Răspuns: AVAB=123 cm2.A_{VAB} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2.

Soluție:

Notăm AB=BC=CA=e.AB=BC=CA=e.
363=AABC=e2⋅34⇒e2=4⋅36⇒e=12.36\sqrt{3} = A_{ABC}=\dfrac{e^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \Rightarrow e^2 = 4 \cdot 36 \Rightarrow \boxed{e=12}.

Fie VDVD înălțime și mediană în triunghiul isoscel VAB⇒AD=6.VAB \Rightarrow \boxed{AD=6}.

În △VAD, D^=90°, tg(A)=VDAD⇒VD=6⋅sin⁡30cos⁡30=6⋅12⋅23⇒VD=23.\triangle VAD,~ \widehat{D}=90\degree,~ tg(A) = \dfrac{VD}{AD} \Rightarrow VD = 6 \cdot \dfrac{\sin{30}}{\cos{30}} = 6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow \boxed{VD=2\sqrt{3}}.
AVAB=VD⋅AB2=23⋅122,A_{VAB} = \dfrac{VD\cdot AB}{2}= \dfrac{2\sqrt{3} \cdot 12}{2}, deci AVAB=123 cm2.\boxed{A_{VAB} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2}.

E.417. Fie VABCVABC o piramidă regulată. Știind că raza cercului circumscris bazei ABCABC este de 868\sqrt{6} cm și că ∡AVB=90°,\measuredangle AVB=90\degree, calculați lungimea muchiei laterale a piramidei.

Mate2000, 7/111, **
Soluție
Soluție:

Notăm cu mm muchia tetraedrului și cu ee muchia triunghiului ABC.ABC.
Fie OO centrul de greutate al triunghiului echilateral ABCABC și CO∩AB={D}.CO \cap AB = \{D\}.
Deci în triunghiul ABC,CDABC, CD este înălțime și mediană iar OCOC este raza cercului circumscris.
CO=23⋅CD⇒CD=32⋅OC,CO = \dfrac{2}{3} \cdot CD \Rightarrow CD = \dfrac{3}{2} \cdot OC, adică CD=126.\boxed{CD=12 \sqrt{6}}.

Triunghiul ABCABC este echilateral ⇒CD=e32⇒e=242.\Rightarrow CD=\dfrac{e \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \boxed{e=24\sqrt{2}}.

În triunghiul VBCVBC dreptunghic, isoscel, e=m2⇒m=24.e=m\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{m=24}.

E.418. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată cu ∡AVB=90°.\measuredangle AVB=90\degree. Dacă VA=10VA=10 cm, calculați perimetrul lui ABCD.ABCD.

Mate2000, 9/111, ***

E.419. Fie VABCDVABCD o piramidă patrulateră regulată cu VA=AB=12VA=AB=12 cm. Stabiliți natura triunghiului VACVAC și calculați aria acestuia.

Mate2000, 11/111, ***

E.420. Piramida regulată SABCSABC are baza un triunghi echilateral cu aria de 72372\sqrt{3} cm2.^2. Știind că triunghiul SABSAB este dreptunghic isoscel, aflați muchia laterală a piramidei.

Mate2000, 3/120, Test autoevaluare
Soluție
Soluție:

Notăm cu mm muchia tetraedrului și cu ee muchia triunghiului ABC.ABC.
Triunghiul ABCABC este echilateral ⇒AABC=e234⇒e=122.\Rightarrow A_{ABC}=\dfrac{e^2 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow \boxed{e=12\sqrt{2}}.

În triunghiul VBCVBC dreptunghic, isoscel, e=m2⇒m=12.e=m\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{m=12}.

E.413. Fie piramida patrulateră VABCD,VABCD, în care baza ABCDABCD este un paralelogram, muchiile laterale sunt congruente și VA⊥VC, VB⊥VD.VA \perp VC,~ VB \perp VD. Dacă VA=32VA=3\sqrt{2} cm, calculați AB2+BC2.AB^2+BC^2.

Art, 18/106, ***
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se arată că ABCDABCD are diagonalele congruente, deci este un dreptunghi.

Răspuns: 3636 cm2.^2.

Soluție:

△AVC\triangle AVC dreptunghic isoscel ⇒AC=VA⋅2,\Rightarrow AC=VA\cdot\sqrt{2}, deci AC=6 cm.\boxed{AC=6 \text{ cm}}.
△AVC≡△BVD\triangle{AVC} \equiv \triangle{BVD} (C.C.) ⇒AC=BD⇒ABCD\Rightarrow AC=BD \Rightarrow ABCD este dreptunghi ⇒ABC^=90°.\Rightarrow \boxed{\widehat{ABC} = 90\degree}.
△ABC\triangle ABC dreptunghic ⇒AB2+BC2=AC2=36\Rightarrow AB^2 + BC^2 = AC^2=36 cm2.^2.

E.414. Fie piramida hexagonală regulată VABCDEF,VABCDEF, având vârful în V.V. Dacă tetraedrul VEACVEAC este regulat, iar AB=6AB=6 cm, calculați lungimea înălțimii unei fețe laterale a piramidei VABCDEF.VABCDEF.

Art, 23/107, ***
Soluție
Soluție:

Notă cu O centru hexagonului ABCDEFABCDEF (fig.2).
OABOAB și OBCOBC sunt triunghiuri echilaterale ⇒AC=2AP=AB3⇒AC=63.\Rightarrow AC = 2 AP = AB \sqrt{3} \Rightarrow \boxed{AC= 6\sqrt{3}}.
VEACVEAC tetraedru regulat ⇒VA=AC=63.\Rightarrow \boxed{VA=AC=6\sqrt{3}}.

În triunghiul isoscel VABVAB cu VMVM înălție avem:
VM2=VA2−AM2=62⋅3−32⇒VM=311.VM^2=VA^2-AM^2 = 6^2\cdot 3 - 3^2 \Rightarrow \boxed{VM=3\sqrt{11}}.

E.415. Fie SABCSABC un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu 2424 cm. Dacă DD este mijlocul laturii BC,BC, stabiliți natura triunghiului SADSAD și calculați aria acestuia.

Mate2000, 13/112, ***
Răspuns | Soluție

Răspuns: AD=SD=123;ASAD=1442.AD=SD=12\sqrt{3}; A_{SAD}=144\sqrt{2}.

Soluție:

SABCSABC - tetraedru regulat ⇒\Rightarrow toate fețele sunt triunghiuri echilaterale (de latură mm).
SDSD și ADAD sunt înălțimi în triunghiuri echilaterale congruente ⇒SD=AD⇒△SAD\Rightarrow SD=AD \Rightarrow \triangle SAD este isoscel.

SD=AD=m32,SD=AD=\dfrac{m\sqrt{3}}{2}, deci SD=AD=123.\boxed{SD=AD=12\sqrt{3}}.

Extragem triunghiul SADSAD într-o figură separată (fig.2) și notăm cu EE mijlocul laturii AS.AS.
În triunghiul dreptunghic AED, DE2=AD2−AE2⇒DE=122.AED,~DE^2=AD^2-AE^2 \Rightarrow \boxed{DE=12\sqrt{2}.}

ASAD=AS⋅DE2=24⋅1222,A_{SAD}=\dfrac{AS \cdot DE}{2}=\dfrac{24 \cdot 12\sqrt{2}}{2}, deci ASAD=1442.\boxed{A_{SAD}=144\sqrt{2}}.

Nivel mediu

E.164. Piramida hexagonală regulată VABCDEFVABCDEF, cu vârful VV, are ∡AVB=45°\measuredangle AVB=45 \degree. Dacă drumul cel mai scurt dintre punctele AA și EE care intersectează muchia VFVF este de 636\sqrt{3} cm, calculați lungimea muchiei VAVA.

Art, 19/106, ***
Indicații (1)

Indicații: Desfășurăm triunghiurile VAFVAF și VEFVEF.

Nume CreatLa (UTC)
Tema6: Piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat 04-11-2024 13:17
Tema4: Piramida, tetraedrul 04-10-2025 13:19