Piramida, tetraedrul

E.416. Piramida regulată $VABC$ are baza un triunghi echilateral cu aria $36\sqrt{3}$ cm$^2.$ Dacă $\measuredangle VAB=30\degree,$ calculați aria triunghiului $VAB.$

E.417. Fie $VABC$ o piramidă regulată. Știind că raza cercului circumscris bazei $ABC$ este de $8\sqrt{6}$ cm și că $\measuredangle AVB=90\degree,$ calculați lungimea muchiei laterale a piramidei.

E.418. Fie $VABCD$ o piramidă patrulateră regulată cu $\measuredangle AVB=90\degree.$ Dacă $VA=10$ cm, calculați perimetrul lui $ABCD.$

E.419. Fie $VABCD$ o piramidă patrulateră regulată cu $VA=AB=12$ cm. Stabiliți natura triunghiului $VAC$ și calculați aria acestuia.

E.420. Piramida regulată $SABC$ are baza un triunghi echilateral cu aria de $72\sqrt{3}$ cm$^2.$ Știind că triunghiul $SAB$ este dreptunghic isoscel, aflați muchia laterală a piramidei.

E.413. Fie piramida patrulateră $VABCD,$ în care baza $ABCD$ este un paralelogram, muchiile laterale sunt congruente și $VA \perp VC,~ VB \perp VD.$ Dacă $VA=3\sqrt{2}$ cm, calculați $AB^2+BC^2.$

E.414. Fie piramida hexagonală regulată $VABCDEF,$ având vârful în $V.$ Dacă tetraedrul $VEAC$ este regulat, iar $AB=6$ cm, calculați lungimea înălțimii unei fețe laterale a piramidei $VABCDEF.$

E.415. Fie $SABC$ un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu $24$ cm. Dacă $D$ este mijlocul laturii $BC,$ stabiliți natura triunghiului $SAD$ și calculați aria acestuia.

E.164. Piramida hexagonală regulată $VABCDEF$, cu vârful $V$, are $\measuredangle AVB=45 \degree$. Dacă drumul cel mai scurt dintre punctele $A$ și $E$ care intersectează muchia $VF$ este de $6\sqrt{3}$ cm, calculați lungimea muchiei $VA$.