E.416. Piramida regulată VABCVABCVABC are baza un triunghi echilateral cu aria 36336\sqrt{3}363 cm2.^2.2. Dacă ∡VAB=30°,\measuredangle VAB=30\degree,∡VAB=30°, calculați aria triunghiului VAB.VAB.VAB.
Indicații: Din formula ariei, aflăm aria triunghiului ABC.ABC.ABC.
Răspuns: AVAB=123 cm2.A_{VAB} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2.AVAB=123 cm2.
Notăm AB=BC=CA=e.AB=BC=CA=e.AB=BC=CA=e. 363=AABC=e2⋅34⇒e2=4⋅36⇒e=12.36\sqrt{3} = A_{ABC}=\dfrac{e^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \Rightarrow e^2 = 4 \cdot 36 \Rightarrow \boxed{e=12}.363=AABC=4e2⋅3⇒e2=4⋅36⇒e=12.
Fie VDVDVD înălțime și mediană în triunghiul isoscel VAB⇒AD=6.VAB \Rightarrow \boxed{AD=6}.VAB⇒AD=6.
În △VAD, D^=90°, tg(A)=VDAD⇒VD=6⋅sin30cos30=6⋅12⋅23⇒VD=23.\triangle VAD,~ \widehat{D}=90\degree,~ tg(A) = \dfrac{VD}{AD} \Rightarrow VD = 6 \cdot \dfrac{\sin{30}}{\cos{30}} = 6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow \boxed{VD=2\sqrt{3}}.△VAD, D=90°, tg(A)=ADVD⇒VD=6⋅cos30sin30=6⋅21⋅32⇒VD=23. AVAB=VD⋅AB2=23⋅122,A_{VAB} = \dfrac{VD\cdot AB}{2}= \dfrac{2\sqrt{3} \cdot 12}{2},AVAB=2VD⋅AB=223⋅12, deci AVAB=123 cm2.\boxed{A_{VAB} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2}.AVAB=123 cm2.
