Exercițiul 417

E.417. Fie VABCVABC o piramidă regulată. Știind că raza cercului circumscris bazei ABCABC este de 868\sqrt{6} cm și că ∡AVB=90°,\measuredangle AVB=90\degree, calculați lungimea muchiei laterale a piramidei.

Mate2000, 7/111, **
Soluție
Soluție:

Notăm cu mm muchia tetraedrului și cu ee muchia triunghiului ABC.ABC.
Fie OO centrul de greutate al triunghiului echilateral ABCABC și CO∩AB={D}.CO \cap AB = \{D\}.
Deci în triunghiul ABC,CDABC, CD este înălțime și mediană iar OCOC este raza cercului circumscris.
CO=23⋅CD⇒CD=32⋅OC,CO = \dfrac{2}{3} \cdot CD \Rightarrow CD = \dfrac{3}{2} \cdot OC, adică CD=126.\boxed{CD=12 \sqrt{6}}.

Triunghiul ABCABC este echilateral ⇒CD=e32⇒e=242.\Rightarrow CD=\dfrac{e \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \boxed{e=24\sqrt{2}}.

În triunghiul VBCVBC dreptunghic, isoscel, e=m2⇒m=24.e=m\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{m=24}.