Exercițiul 415

E.415. Fie SABCSABC un tetraedru regulat cu lungimea muchiei egală cu 2424 cm. Dacă DD este mijlocul laturii BC,BC, stabiliți natura triunghiului SADSAD și calculați aria acestuia.

Mate2000, 13/112, ***
Răspuns | Soluție

Răspuns: AD=SD=123;ASAD=1442.AD=SD=12\sqrt{3}; A_{SAD}=144\sqrt{2}.

Soluție:

SABCSABC - tetraedru regulat ⇒\Rightarrow toate fețele sunt triunghiuri echilaterale (de latură mm).
SDSD și ADAD sunt înălțimi în triunghiuri echilaterale congruente ⇒SD=AD⇒△SAD\Rightarrow SD=AD \Rightarrow \triangle SAD este isoscel.

SD=AD=m32,SD=AD=\dfrac{m\sqrt{3}}{2}, deci SD=AD=123.\boxed{SD=AD=12\sqrt{3}}.

Extragem triunghiul SADSAD într-o figură separată (fig.2) și notăm cu EE mijlocul laturii AS.AS.
În triunghiul dreptunghic AED, DE2=AD2−AE2⇒DE=122.AED,~DE^2=AD^2-AE^2 \Rightarrow \boxed{DE=12\sqrt{2}.}

ASAD=AS⋅DE2=24⋅1222,A_{SAD}=\dfrac{AS \cdot DE}{2}=\dfrac{24 \cdot 12\sqrt{2}}{2}, deci ASAD=1442.\boxed{A_{SAD}=144\sqrt{2}}.