Scrierea și citirea numerelor naturale

a) Numerele care conțin cifra $3$ sunt de forma:

• $\overline{53x}:~~530, 531, \ldots, 539 \Rightarrow 10$ numere;
• $\overline{5x3}:~~503, 513, \ldots, 543 \Rightarrow 5$ numere.

Cum numărul $533$ apare în ambele categorii, răspunsul va fi $15-1=14.$

b) Numerele care conțin două cifre identice sunt de forma:

• $\overline{5xx}:~~511, 522, 533, 544 \Rightarrow 4$ numere;
• $\overline{5x5}:~~505, 515, 525, 535, 545 \Rightarrow 5$ numere. În total, $9$ numere.

c) Numerele care conțin cifrele $0$ sau $7$ sunt de forma:

• $\overline{50x}:~~501, 502, \ldots, 509 \Rightarrow 9$ numere;
• $\overline{5x7}:~~507, 517, \ldots, 547 \Rightarrow 5$ numere;
• $\overline{5x0}:~~510, 520, \ldots, 540 \Rightarrow 4$ numere;

Cum numărul $507$ apare de două ori (în primele două categorii), răspunsul va fi $18-1=17.$

Două numere de 4 cifre sunt identice dacă:

• cifra unitătilor de la primul număr este egală cu cifra unităților de la al doilea număr. De aici rezultă $c=a;$
• cifra zecilor de la primul număr este egală cu cifra zecilor de la al doilea număr. De aici rezultă $b=a;$
• cifra sutelor de la primul număr este egală cu cifra sutelor de la al doilea număr. De aici rezultă $4=b;$

Din cele $3$ informații de mai sus obținem $a=b=c=4,$ deci $\boxed{\overline{abc}=444}.$

Două numere de 4 cifre sunt identice dacă:

• cifra unitătilor de la primul număr este egală cu cifra unităților de la al doilea număr;
• cifra zecilor de la primul număr este egală cu cifra zecilor de la al doilea număr;
• etc.

Răsturnatul lui $\overline{abc6}$ este $\overline{6cba}.$ Din $\overline{6cba}=\overline{bcb3}$ obținem $a=3$ și $b=6.$
Răsturnatul lui $\overline{3bcd}$ este $\overline{dcb3}.$ Din $\overline{dcb3}=\overline{90ba}$ obținem $c=0$ și $d=9.$

Așadar, numărul căutat este $\boxed{\overline{abcd}=3609}.$

• Cifra $a$ poate lua $9$ valori $(1,2,3 \ldots, 9);$
• Cifra $b$ poate lua $10$ valori $(0,1,2 \ldots, 9);$
• Cifra $c$ poate lua $5$ valori $(0,2,4,6,8);$

Folosind regula produsului obținem că în total putem forma $9 \cdot 10 \cdot 5 = 450$ numere.

Numerele căutate sunt de forma $\overline{abcd},$ unde:

• $a, b, c \in \{1,2,3,4\} \Rightarrow 4$ posibilităti;
• $d \in \{2,4\} \Rightarrow 2$ posibilităti;

Folosind regula produsului obținem $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2 = 128$ numere.

• de la pagina $1$ la pagina $9$ sunt $9$ pagini $\Rightarrow 9$ cifre;
• de la pagina $10$ la pagina $99$ sunt $(99-10)+1=90$ pagini $\Rightarrow 180$ cifre;
• pentru pagina $100 \Rightarrow 3$ cifre;

În total s-au folosit $9+180+3 = 192$ cifre.

b) De la pagina $1$ la pagina $99$ s-au consumat $9 \cdot 1 + 90 \cdot 2=189$ cifre. Restul de $450-189 = 261$ cifre s-au folosit pentru paginile scrise cu $3$ cifre. Numărul acestor pagini este $261:3=87.$ Așadar, cartea are $99+87=186$ pagini.