Olimpiadă, etapa județeană, 2021 (grilă)

$\bold {Caz \space 1}: \boxed{b=0} \textcolor{red} \Rightarrow U_c(2^a+2^b) = U_c(2^a+1)$

$$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c:c} a & U_c(2^a+1) & nr. a & suma \space U_c \\ \hline 0 & 2 & 1 & 2 \cdot 1 = 2 \\ \hdashline 1, 5, 9 & 3 & 3 & 3 \cdot 3 = 9 \\ \hdashline 2,6 & 5 & 2 & 5 \cdot 2 = 10 \\ \hdashline 3,7 & 9 & 2 & 9 \cdot 2= 18 \\ \hdashline 4, 8 & 7 & 2 & 7 \cdot 2 = 14 \\ \end{array}$$

$\hspace*{2em}$ Total: $2+9+10+18+14=\boxed{53}$

$\bold {Caz \space 2}: \boxed{b = \overline{1..9}} \textcolor{red} \Rightarrow U_c(2^a+2^b) = U_c(2^a+5)$

$$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c:c} a & U_c(2^a+5) & nr.a & suma \space U_c \\ \hline 0 & 6 & 1 & 6 \cdot 1 = 6 \\ \hdashline 1, 5, 9 & 7 & 3 & 7 \cdot 3 = 21 \\ \hdashline 2,6 & 9 & 2 & 9 \cdot 2 = 18 \\ \hdashline 3,7 & 3 & 2 & 3 \cdot 2 = 6 \\ \hdashline 4, 8 & 1 & 2 & 1 \cdot 2 = 2 \\ \end{array}$$

$\hspace*{2em}$ Avem $9$ variante pt. $b$, deci:
$\hspace*{2em}$ Total: $9 \cdot (6+21+18+6+2)=\boxed{477}$

Răspuns: $53+477 = 530.$

$4^x \cdot 3^y \space \vdots \space 4 \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{y30x} \space \vdots \space 4 \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{0x} \space \vdots \space 4 \textcolor{red}{\Rightarrow} x \in \{0, 4, 8\}$

$\bold{Caz \space 1}$: $x=0$, nu convine ($U_c(4^x \cdot 3^y) \not = 0$)

$\bold{Caz \space 2}$: $\boxed{x=4} \textcolor{red}{\Rightarrow} 4^x \cdot 3^y = \overline{y304}$
$\hspace*{2em} 4^x \cdot 3^y \space \vdots \space 3 \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{y304} \space \vdots \space 3 \textcolor{red}{\Rightarrow} (y+3+0+4) \space \vdots \space 3 \textcolor{red}{\Rightarrow} y \in \{2, 5, 8\}$
$\hspace*{2em}\bullet \space \boxed{y=2} \textcolor{red}{\Rightarrow} 256 \cdot 3^2=2304$ - adevărat
$\hspace*{2em}\bullet \space y=5 \textcolor{red}{\Rightarrow} 256 \cdot 3^5=5304$ - fals
$\hspace*{2em}\bullet \space y=8 \textcolor{red}{\Rightarrow} 256 \cdot 3^8=8304$ - fals

$\bold{Caz \space 3}$: $x=8$, nu convine ($4^8=2^{16} \gt 9999$)

Deci $x-y=4-2=2.$

$43x^2 \lt 1720 \textcolor{red}{\Rightarrow} x^2 \lt 40 \textcolor{red}{\Rightarrow} x \in \{2, 3, 5\}$

$\bold{Caz \space 1}$: $x=2 \textcolor{red}{\Rightarrow} 129 \cdot y \space este \space par \textcolor{red}{\Rightarrow} y=2$
$\hspace*{2em} 43 \cdot 2^2 + 129 \cdot 2 + 10z = 1720$
$\hspace*{2em} 10z=129 \textcolor{red}{\Rightarrow} z=129$ - nu convine

$\bold{Caz \space 2}$: $\boxed{x=3}$
$\hspace*{2em} 43 \cdot 3^2 + 129 \cdot y + 10z = 1720$
$\hspace*{2em} 129y+10z=1333 \textcolor{red}{\Rightarrow} U_c(y)=7$
$\hspace*{2em}\bullet \boxed{y=7} \textcolor{red}{\Rightarrow} 129\cdot 7 + 10z=1333 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{z=43}$
$\hspace*{2em}\bullet \space y=17 \textcolor{red}{\Rightarrow} 129\cdot 17 = 2193 > 1333$ - nu convine
$\hspace*{2em}\bullet \space$ orice alt nr. cu $U_c(y)=7$ - nu convine

$\bold{Caz \space 3}$: $x=5 \textcolor{red}{\Rightarrow} U_c(129 \cdot y) = 5 \textcolor{red}{\Rightarrow} y=5$
$\hspace*{2em} 43 \cdot 5^2 + 129 \cdot 5 + 10z = 1720$
$\hspace*{2em} 1720+ 10z = 1720 \textcolor{red}{\Rightarrow} z=0$, nu convine

Deci $x+y+z = 3+7+43 = 53.$

$p+q+q^2=8p^2$
$p+q(q+1)=8p^2$

$$\begin{rcases} q(q+1) - par \\ 8p^2 - par \\ \end{rcases} \textcolor{red}{\Rightarrow} p - par \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{p=2}$$

$2+q(q+1) = 8 \cdot 2^2$
$q(q+1) = 30 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{q=5}$

Deci $p+q = 7$

$\bold{Caz \space 1}$: $a=d$
$\hspace*{2em} \overline{abcd} - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow} b=c=0$
$\hspace*{2em} \overline{abcd} + 1 - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow}$
$\hspace*{2em}\bullet \space d<9 \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{a00d} + 1 = \overline{a00(d+1)}$ - neech.
$\hspace*{2em}\bullet \space d=9 \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{a00d} + 1 = \overline{9010)}$ - neech.

$\bold{Caz \space 2}$: $a \gt d \textcolor{red}{\Rightarrow} d \lt 9, \space b+c \geq 1$
$\hspace*{2em} \overline{abcd} - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow} a=b+c+d$
$\hspace*{2em} \overline{abcd} + 1 - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{abc(d+1)} - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow}$
$\hspace*{2em}\bullet \space a=b+c+d+1 \textcolor{red}{\Rightarrow} a=a+1$ - nu conv.
$\hspace*{2em}\bullet \space d+1 = a+b+c \textcolor{red}{\Rightarrow} d \geq a$ - contradicție

$\bold{Caz \space 3}$: $a \lt d \textcolor{red}{\Rightarrow} a \lt 9, \space b+c \geq 1$
$\hspace*{2em} \overline{abcd} - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow} d=a+b+c \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}$
$\hspace*{2em} \overline{abcd} + 1 - ech. \textcolor{red}{\Rightarrow}$
$\hspace*{2em}\bullet \space d<9 \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{abcd}+1 = \overline{abc(d+1}$
$\hspace*{4em}\bullet \space a=b+c+d+1 \textcolor{red}{\Rightarrow} a \gt d$ - contrad.
$\hspace*{4em}\bullet \space d+1 = a+b+c \textcolor{red}{\Rightarrow} d+1=d \rightarrow$ n.c.
$\hspace*{2em}\bullet \boxed{d=9} \textcolor{red}{\Rightarrow} \overline{abcd}+1 = \overline{ab(c+1)0} \textcolor{red}{\Rightarrow}$
$\hspace*{4em} a=b+c+1 \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}$
$\hspace*{4em}$Din (1) și (2) $\textcolor{red}{\Rightarrow} d=a+a-1 \textcolor{red}{\Rightarrow}$
$\hspace*{4em} 2a=9+1 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=5}$

Deci $d+a=9+5=14.$

Observație: din (1) $\textcolor{red}{\Rightarrow} b+c=d-a=9-5=4$, deci numărul nostru va fi de forma $\overline{5bc9},$ unde $b+c=4,$ adică:
$\{5409, 5319, 5229, 5139, 5049\}.$

Încercăm să deducem o regulă:

$1$ cf: $\boxed{2}, \boxed{7}$
$2$ cf: $\boxed{22, 27}, \boxed{72, 77}$
$3$ cf: $\boxed{222, 227, 272, 277}, \boxed{722, 727, 772, 777}$
$4$ cf: $\boxed{\text{8 nr. care încep cu 2}}, \boxed{\text{8 nr. care încep cu 7}}$
$\dots$
Calculăm poziția ultimului nr. de pe fiecare linie:
$7 \rightarrow$ poz. $2^1$
$77 \rightarrow$ poz. $2^1+2^2$
$777 \rightarrow$ poz. $2^1+2^2+2^3$
$7777 \rightarrow$ poz. $2^1+2^2+2^3+2^4$
$\dots$
$\underbrace{77 \ldots 7}_{\text{n ori}} \rightarrow$ poz. $2^1+2^2+ \ldots+2^n$

Pentru calculul sumei $S_n=1+2^1+2^2+ \ldots+2^n$ putem folosi tehnica "$2S_n-S_n$" sau putem folosi direct următorul rezultat:

$\boxed{S_n = 1+2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-1}$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-2$
Pentru $n=6$ $\textcolor{red}{\Rightarrow} 2^1+2^2+ \dots + 2^6 = 2^7-2=126$
Deci $\underbrace{77 \ldots 7}_{\text{6 ori}}$ se află pe poziția $126.$

Pentru a afla numărul de poziția 120 va trebui să scriem, descrescător, următoarele $126-120+1=7$ numere:
$\hspace*{2em} 777777 \rightarrow$ poz. $126$
$\hspace*{2em} 777772 \rightarrow$ poz. $125$
$\hspace*{2em} 777727 \rightarrow$ poz. $124$
$\hspace*{2em} 777722 \rightarrow$ poz. $123$
$\hspace*{2em} 777277 \rightarrow$ poz. $122$
$\hspace*{2em} 777272 \rightarrow$ poz. $121$
$\hspace*{2em} \boxed{777227} \rightarrow$ poz. $120$

Suma cifrelor: $7 \cdot 4 + 4 = 32.$

Pentru calculul sumei $S_n=1+2^1+2^2+ \ldots+2^n$ putem folosi tehnica "$2S_n-S_n$" sau putem folosi direct următorul rezultat:

$\hspace*{2em} \boxed{S_n = 1+2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-1}$

În cazul nostru, $S=2^{120}-1.$

Pentru a determina cel mai mic număr compus, va trebui să găsim cei mai mici divizoiri ai lui $S$. Îi vom lua pe rând:

$\hspace*{2em} \bullet S=2^{120}-1 = M_2 - 1 \not = M_2$
$\hspace*{3em} \textcolor{red}{\Rightarrow} S$ nu are divizori pari.
$\hspace*{2em} \bullet S=(3+1)^{60}-1 = (M_3+1) - 1 = M_3$
$\hspace*{2em} \bullet S=(5-1)^{60}-1 = (M_5+1) - 1 = M_5$
$\hspace*{2em} \bullet S=(7+1)^{40}-1 = (M_7+1) - 1 = M_7$
$\hspace*{2em} \ldots$
Deci cei mai mici divizori proprii ai lui $S$ sunt, în ordine, $3$, $5$, $7$ etc.
Observăm că $\boxed{3 \cdot 5 \cdot 7 = 105}$. Cum $101$ și $103$ sunt numere prime, putem spune că 105 este cel mai mic număr compus care satisface condiția dată.

Notăm cu "$a \bmod b$" restul împărțirii lui $a$ la $b$. Avem proprietatea:

$\hspace*{2em} (a_1+ \ldots + a_n) \bmod b =$
$\hspace*{2em} = [(a_1 \bmod b) + \ldots + (a_n \bmod b)] \bmod b$

Exemplu:
$\hspace*{2em} (4+7) \bmod 3 =$
$\hspace*{2em} =[(4 \bmod 3) + (7 \bmod 3)] \bmod 3=$
$\hspace*{2em} =(1+1) \bmod 3 = 2.$

Prin urmare, în enunțul nostru putem înlocui cifrele $1$, $3$, $4$ și $7$ cu resturile obținute prin împărțirea lor la $3,$ adică cu $1$, $0$, $1$ și respectiv $1.$
Va trebui, așadar, să calculăm suma resturilor tuturor numerelor de $4$ cifre care se pot forma cu cifrele $1$ și $0.$

$\bold{Caz \space 1}$: numere cu $0$ sau $3$ cifre de $1$:
$\hspace*{2em}$ Aceste numere dau restul $0$ - le ignorăm.

$\bold{Caz \space 2}$: numere cu o cifră de $1$:

$$\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c} 1000 \\ 0100 \\ 0010 \\ 0001 \end{array}$$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 4$ rânduri x $3$ compinații = $\boxed{12 \space numere}$ care dau restul $1$.
Obs: am considerat $3$ combinații fiindcă, nu uităm, în spatele fiecărei cifre de $1$ poate exista oricare din cifrele $1$, $4$ sau $7$.

$\bold{Caz \space 3}$: numere cu două cifre de $1$:

$$\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c} 1100 \\ 1010 \\ 1001 \\ \hdashline 0110 \\ 0101 \\ \hdashline 0011 \\ \end{array}$$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 6$ rânduri x ($3$ x $3$) compinații = $\boxed{54 \space numere}$ care dau restul $2$.

$\bold{Caz \space 4}$: numere cu $4$ cifre de $1$:

$$\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c} 1111 \end{array}$$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 1$ rând x ($3$ x $3$ x $3$ x $3$) compinații = $\boxed{81 \space numere}$ care dau restul $1$.

Suma resturilor:
$12 \cdot 1 + 54 \cdot 2 + 81 \cdot 1 = 12+108+81=201.$

Notăm:
$\hspace*{2em} S$ - suma tuturor numerelor de pe masă
$\hspace*{2em} S_A$ - suma numerelor șterse de $A$
$\hspace*{2em} S_B$ - suma numerelor șterse de $B$
$\hspace*{2em} x$ - numărul rămas

Avem:
$\hspace*{2em} S=S_A+S_B+x$, unde:
$\hspace*{2em} S=90$ și $S_B=2S_A$

Deci:
$\hspace*{2em} 90=S_A+2S_A + x$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} x=3(30-S_A) = M3$

Cum singurul număr de pe masă multiplu de $3$ este $3 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{x=3}.$

$4 \cdot \overline{abcd} = \overline{dcba} \leq 9999 \textcolor{red}{\Rightarrow} a \in \{1, 2\}$

$a=1 \textcolor{red}{\Rightarrow} 4 \cdot \overline{1bcd} = \overline{dcb1}$ - nu conv. $(par \not = imp.)$

$\boxed{a=2} \textcolor{red}{\Rightarrow} 4 \cdot \overline{2bcd} = \overline{dcb2} \textcolor{red}{\Rightarrow} U_c(4 \cdot d) = 2$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} d \in \{3, 8 \}$
$\hspace*{2em}\bullet d=3$ - nu convine $(4 \cdot \overline{2bc3} \gt \overline{3cb2})$
$\hspace*{2em}\bullet \boxed{d=8} \textcolor{red}{\Rightarrow} 4 \cdot \overline{2bc8} = \overline{8cb2}$
$\hspace*{4em} \cancel{8000} + \overline{bc} \cdot 40 + 32 = \cancel{8000} + \overline{cb} \cdot 10 + 2$
$\hspace*{4em} 40 \cdot \overline{bc} + 30 = 10 \cdot \overline{cb} \quad | :10$
$\hspace*{4em} 4 \cdot \overline{bc} + 3 = \overline{cb}$
$\hspace*{4em}$Dar $\overline{cb} \leq 99 \textcolor{red}{\Rightarrow} b \in \{0, 1, 2\}$
$\hspace*{4em}\bullet b - par$, nu conv. $(par + imp. \not = par)$
$\hspace*{4em}\bullet \boxed{b = 1} \textcolor{red}{\Rightarrow} 4(1 \cdot 10 + c) + 3 = \overline{c1}$
$\hspace*{6em} 43+\overline{4c} = \overline{c1} \textcolor{red}{\Rightarrow} U_c(4 \cdot c)=8$
$\hspace*{6em} \textcolor{red}{\Rightarrow} c \in \{2, 7\}$
$\hspace*{6em}\bullet c=2 \textcolor{red}{\Rightarrow} 43+4 \cdot 2=21$ - fals
$\hspace*{6em}\bullet \boxed{c=7} \textcolor{red}{\Rightarrow} 43+4 \cdot 7=71$ - adev.

Deci $a+b+c+d = 2+1+7+8 = 18.$

Avem proprietatea: un număr $A$ este $M_9$ dacă suma cifrelor sale este $M_9.$

Mai mult, și numărul $B$ obținut prin însumarea cifrelor numărului A va fi tot $M_9 \space \textcolor{red}{(1)}$. Și tot așa, până când suma cifrelor va fi un număr de o singură cifră. Acest ultim număr va fi tot $M_9$, deci va fi chiar $9$.

Vom demonstra doar afirmația (1):
$\hspace*{2em}$ Fie $A=\overline{a_n \ldots a_1}$
$\hspace*{2em} A=M_9 \textcolor{red}{\Rightarrow} a_n+ \ldots + a1 = M_9$
$\hspace*{2em}$Fie $a_n+ \ldots + a1 =B$
$\hspace*{2em}$Cum $a_n+ \ldots + a1=M_9 \textcolor{red}{\Rightarrow} B = M_9$ ($q.e.d.)$

În cazul nostru, termenul general al șirului este:
$a_n=8^{2n-1} + 10^n = (9-1)^{2n-1} + (9+1)^n = M_9-1+M_9+1 = M_9$

Conform proprietății amintite mai sus, numărul final obținut prin adunarea repetată a cifrelor numărului $a_n$ va fi $9$.

Cum șirul are $17$ termeni $\textcolor{red}{\Rightarrow} S = 17 \cdot 9 = 153$

$x$, $y$ - prime, $x \gt y \textcolor{red}{\Rightarrow} x \gt 2 \textcolor{red}{\Rightarrow} x-impar \space \textcolor{red}{(1)}$
$p$ - prim, $x-impar \textcolor{red}{\Rightarrow} p \gt 2 \textcolor{red}{\Rightarrow} p-impar \space \textcolor{red}{(2)}$
Din (1) și (2) $\textcolor{red}{\Rightarrow} y-par \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{y=2}$

$p \lt 1000 \textcolor{red}{\Rightarrow} x^{2n} \lt 1000 \textcolor{red}{\Rightarrow} x^n \lt 32$
Cum $x - prim, n \not= 0 \textcolor{red}{\Rightarrow} n \in \{1,2,3\}$

$\bold{Caz \space 1}$: $\boxed{n=1} \textcolor{red}{\Rightarrow} p=x^2+2$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} x \in \{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31\}$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} p \in \{11,27,51,123,171,291,363,531,843,963\}$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{p=11}$ (restul nu sunt prime, sunt $M_3$)

$\bold{Caz \space 2}$: $\boxed{n=2} \textcolor{red}{\Rightarrow} p=(x^2)^2+2$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} x \in \{3,5\}$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} p \in \{83, 627\}$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{p=83}$ ($627$ nu este prim, este $M_3$)

$\bold{Caz \space 3}$: $n=3 \textcolor{red}{\Rightarrow} p=(x^3)^2+2$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} x=3$
$\hspace*{2em} \textcolor{red}{\Rightarrow} p=(3^3)^2+2 = 731=17 \cdot 43 \space (\not = prim)$

În total două numere speciale: $\boxed{p \in \{11, 83\}}.$