Exercițiul 105

Încercăm să deducem o regulă:

$1$ cf: $\boxed{2}, \boxed{7}$
$2$ cf: $\boxed{22, 27}, \boxed{72, 77}$
$3$ cf: $\boxed{222, 227, 272, 277}, \boxed{722, 727, 772, 777}$
$4$ cf: $\boxed{\text{8 nr. care încep cu 2}}, \boxed{\text{8 nr. care încep cu 7}}$
$\dots$
Calculăm poziția ultimului nr. de pe fiecare linie:
$7 \rightarrow$ poz. $2^1$
$77 \rightarrow$ poz. $2^1+2^2$
$777 \rightarrow$ poz. $2^1+2^2+2^3$
$7777 \rightarrow$ poz. $2^1+2^2+2^3+2^4$
$\dots$
$\underbrace{77 \ldots 7}_{\text{n ori}} \rightarrow$ poz. $2^1+2^2+ \ldots+2^n$

Pentru calculul sumei $S_n=1+2^1+2^2+ \ldots+2^n$ putem folosi tehnica "$2S_n-S_n$" sau putem folosi direct următorul rezultat:

$\boxed{S_n = 1+2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-1}$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 2^1+2^2+ \dots + 2^n = 2^{n+1}-2$
Pentru $n=6$ $\textcolor{red}{\Rightarrow} 2^1+2^2+ \dots + 2^6 = 2^7-2=126$
Deci $\underbrace{77 \ldots 7}_{\text{6 ori}}$ se află pe poziția $126.$

Pentru a afla numărul de poziția 120 va trebui să scriem, descrescător, următoarele $126-120+1=7$ numere:
$\hspace*{2em} 777777 \rightarrow$ poz. $126$
$\hspace*{2em} 777772 \rightarrow$ poz. $125$
$\hspace*{2em} 777727 \rightarrow$ poz. $124$
$\hspace*{2em} 777722 \rightarrow$ poz. $123$
$\hspace*{2em} 777277 \rightarrow$ poz. $122$
$\hspace*{2em} 777272 \rightarrow$ poz. $121$
$\hspace*{2em} \boxed{777227} \rightarrow$ poz. $120$

Suma cifrelor: $7 \cdot 4 + 4 = 32.$