Exercițiul 107

Notăm cu "$a \bmod b$" restul împărțirii lui $a$ la $b$. Avem proprietatea:

$\hspace*{2em} (a_1+ \ldots + a_n) \bmod b =$
$\hspace*{2em} = [(a_1 \bmod b) + \ldots + (a_n \bmod b)] \bmod b$

Exemplu:
$\hspace*{2em} (4+7) \bmod 3 =$
$\hspace*{2em} =[(4 \bmod 3) + (7 \bmod 3)] \bmod 3=$
$\hspace*{2em} =(1+1) \bmod 3 = 2.$

Prin urmare, în enunțul nostru putem înlocui cifrele $1$, $3$, $4$ și $7$ cu resturile obținute prin împărțirea lor la $3,$ adică cu $1$, $0$, $1$ și respectiv $1.$
Va trebui, așadar, să calculăm suma resturilor tuturor numerelor de $4$ cifre care se pot forma cu cifrele $1$ și $0.$

$\bold{Caz \space 1}$: numere cu $0$ sau $3$ cifre de $1$:
$\hspace*{2em}$ Aceste numere dau restul $0$ - le ignorăm.

$\bold{Caz \space 2}$: numere cu o cifră de $1$:

$$\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c} 1000 \\ 0100 \\ 0010 \\ 0001 \end{array}$$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 4$ rânduri x $3$ compinații = $\boxed{12 \space numere}$ care dau restul $1$.
Obs: am considerat $3$ combinații fiindcă, nu uităm, în spatele fiecărei cifre de $1$ poate exista oricare din cifrele $1$, $4$ sau $7$.

$\bold{Caz \space 3}$: numere cu două cifre de $1$:

$$\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c} 1100 \\ 1010 \\ 1001 \\ \hdashline 0110 \\ 0101 \\ \hdashline 0011 \\ \end{array}$$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 6$ rânduri x ($3$ x $3$) compinații = $\boxed{54 \space numere}$ care dau restul $2$.

$\bold{Caz \space 4}$: numere cu $4$ cifre de $1$:

$$\def\arraystretch{1.3} \begin{array}{c} 1111 \end{array}$$

$\textcolor{red}{\Rightarrow} 1$ rând x ($3$ x $3$ x $3$ x $3$) compinații = $\boxed{81 \space numere}$ care dau restul $1$.

Suma resturilor:
$12 \cdot 1 + 54 \cdot 2 + 81 \cdot 1 = 12+108+81=201.$