Exercițiul 100

E.100. Se consideră toate cele 100100 de numere naturale A=2a+5bA=2^a+5^b, unde aa și bb sunt cifre. Notăm cu u(A)u(A) ultima cifră a numărului AA. Suma tuturor numerelor u(A)u(A) este egală cu:

a) 477477

b) 530530

c) 500500

d) 5353

e) 752752

Olimpiadă, etapa județeană, 2021
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) 530530

Soluție:

Caz 1:b=0⇒Uc(2a+2b)=Uc(2a+1)\bold {Caz \space 1}: \boxed{b=0} \textcolor{red} \Rightarrow U_c(2^a+2^b) = U_c(2^a+1)

aUc(2a+1)nr.asuma Uc0212⋅1=21,5,9333⋅3=92,6525⋅2=103,7929⋅2=184,8727⋅2=14 \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c:c} a & U_c(2^a+1) & nr. a & suma \space U_c \\ \hline 0 & 2 & 1 & 2 \cdot 1 = 2 \\ \hdashline 1, 5, 9 & 3 & 3 & 3 \cdot 3 = 9 \\ \hdashline 2,6 & 5 & 2 & 5 \cdot 2 = 10 \\ \hdashline 3,7 & 9 & 2 & 9 \cdot 2= 18 \\ \hdashline 4, 8 & 7 & 2 & 7 \cdot 2 = 14 \\ \end{array}

\hspace*{2em} Total: 2+9+10+18+14=532+9+10+18+14=\boxed{53}

Caz 2:b=1..9‾⇒Uc(2a+2b)=Uc(2a+5)\bold {Caz \space 2}: \boxed{b = \overline{1..9}} \textcolor{red} \Rightarrow U_c(2^a+2^b) = U_c(2^a+5)

aUc(2a+5)nr.asuma Uc0616⋅1=61,5,9737⋅3=212,6929⋅2=183,7323⋅2=64,8121⋅2=2 \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c:c} a & U_c(2^a+5) & nr.a & suma \space U_c \\ \hline 0 & 6 & 1 & 6 \cdot 1 = 6 \\ \hdashline 1, 5, 9 & 7 & 3 & 7 \cdot 3 = 21 \\ \hdashline 2,6 & 9 & 2 & 9 \cdot 2 = 18 \\ \hdashline 3,7 & 3 & 2 & 3 \cdot 2 = 6 \\ \hdashline 4, 8 & 1 & 2 & 1 \cdot 2 = 2 \\ \end{array}

\hspace*{2em} Avem 99 variante pt. bb, deci:
\hspace*{2em} Total: 9⋅(6+21+18+6+2)=4779 \cdot (6+21+18+6+2)=\boxed{477}

Răspuns: 53+477=530.53+477 = 530.