Exercițiul 110

E.110. Se consideră șirul 81+101, 83+102, 85+103,…, 833+1017.8^1+10^1, \space 8^3+10^2, \space 8^5+10^3, \ldots, \space 8^{33}+10^{17}. Pentru fiecare termen din șir se calculează suma cifrelor, apoi suma cifrelor numărului obținut și tot așa până când obținem ca rezultat un număr de o singură cifră. Suma tuturor numerelor obținute în acest mod este egală cu:

a) 20212021

b) 1717

c) 153153

d) 105105

e) 4343

Olimpiadă, etapa județeană, 2021
Răspuns | Soluție

Răspuns: c) 153153

Soluție:

Avem proprietatea: un număr AA este M9M_9 dacă suma cifrelor sale este M9.M_9.

Mai mult, și numărul BB obținut prin însumarea cifrelor numărului A va fi tot M9 (1)M_9 \space \textcolor{red}{(1)}. Și tot așa, până când suma cifrelor va fi un număr de o singură cifră. Acest ultim număr va fi tot M9M_9, deci va fi chiar 99.

Vom demonstra doar afirmația (1):
\hspace*{2em} Fie A=an…a1‾A=\overline{a_n \ldots a_1}
A=M9⇒an+…+a1=M9\hspace*{2em} A=M_9 \textcolor{red}{\Rightarrow} a_n+ \ldots + a1 = M_9
\hspace*{2em}Fie an+…+a1=Ba_n+ \ldots + a1 =B
\hspace*{2em}Cum an+…+a1=M9⇒B=M9a_n+ \ldots + a1=M_9 \textcolor{red}{\Rightarrow} B = M_9 (q.e.d.)q.e.d.)

În cazul nostru, termenul general al șirului este:
an=82n−1+10n=(9−1)2n−1+(9+1)n=M9−1+M9+1=M9a_n=8^{2n-1} + 10^n = (9-1)^{2n-1} + (9+1)^n = M_9-1+M_9+1 = M_9

Conform proprietății amintite mai sus, numărul final obținut prin adunarea repetată a cifrelor numărului ana_n va fi 99.

Cum șirul are 1717 termeni ⇒S=17⋅9=153\textcolor{red}{\Rightarrow} S = 17 \cdot 9 = 153