Unghi înscris în cerc

Unghi înscris în cerc

Un unghi cu vârful pe cerc și ale cărui laturi includ două coarde ale cercului se numește unghi înscris în cerc.
Teoremă: Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale. [Vezi demonstrația].

∡ABC=AC⏠2\measuredangle ABC = \dfrac{\overgroup{AC}}{2}

Consecințe:

  • Orice unghi înscris într-un semicerc este un unghi drept (figura 1);
  • Două unghiuri înscrise în cerc care subîntind același arc sunt congruente (figura 2).

Alte formule utile. Pentru unghiul cu vârful în interiorul sau în exteriorul cercului, avem formulele de mai jos. Demonstrațiile sunt [aici] și [aici].

∡ABC=AC⏠+DE⏠2\measuredangle ABC = \dfrac{\overgroup{AC}+\overgroup{DE}}{2}

∡ABC=AC⏠−DE⏠2\measuredangle ABC = \dfrac{\overgroup{AC}-\overgroup{DE}}{2}

Nivel introductiv

E.203. Teoremă. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Indicații (1) | Soluție

Indicații: Construim diametrul care pleacă din vârful unghiului și folosim faptul că măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale.

Soluție:


Considerăm cazul când centrul cercului se află în interiorul unghiului ABCABC. Construim diametrul BDBD și obținem triunghiurile isoscele OABOAB și OCB.OCB. AOD^=B1^+A^=2B1^⇒B1^=AOD^2.\widehat{AOD}=\widehat{B_1}+\widehat{A} = 2\widehat{B_1} \Rightarrow \boxed{\widehat{B_1}=\dfrac{\widehat{AOD}}{2}}. Analog, B2^=COD^2.\boxed{\widehat{B_2}=\dfrac{\widehat{COD}}{2}}. Însumând cele două relații obținem concluzia cerută: ABC^=AOC^2=AC⏠2.\boxed{\widehat{ABC}=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}=\dfrac{\overgroup{AC}}{2}}.
Analog se tratează cazul când centrul cercului se află în exteriorul unghiului ABCABC (în acest caz, în loc de sumă facem diferența dintre B1^\widehat{B_1} și B2^\widehat{B_2}).

E.204. Măsura unghiului cu vârful în interiorul cercului este egală cu semisuma măsurilor arcelor determinate de laturile acestuia pe cerc.

Soluție
Soluție:


ABC^=BEC^+BCE^=AC⏠2+DE⏠2,\widehat{ABC} = \widehat{BEC} + \widehat{BCE} = \dfrac{\overgroup{AC}}{2} + \dfrac{\overgroup{DE}}{2}, deci ABC^=AC⏠+DE⏠2.\boxed{\widehat{ABC} = \dfrac{\overgroup{AC} + \overgroup{DE}}{2}}.

E.205. Măsura unghiului cu vârful în exteriorul cercului este egală cu semidiferența măsurilor arcelor determinate de laturile acestuia pe cerc.

Soluție
Soluție:


ABC^=AEC^−ECB^=AC⏠2−DE⏠2,\widehat{ABC} = \widehat{AEC} - \widehat{ECB} = \dfrac{\overgroup{AC}}{2} - \dfrac{\overgroup{DE}}{2}, deci ABC^=AC⏠−DE⏠2.\boxed{\widehat{ABC} = \dfrac{\overgroup{AC} - \overgroup{DE}}{2}}.

Nivel mediu

E.174. În triunghiul ABCABC, înălțimile duse din vârfurile AA, BB, respectiv CC, intersectează cercul circumscris triunghiului în punctele DD, EE, respectiv F.F. Știind că ∡B=50°\measuredangle B=50\degree și ∡C=70°,\measuredangle C=70\degree, determinați măsurile arcelor mici AE⏠\overgroup{AE}, AF⏠\overgroup{AF} și BD⏠.\overgroup{BD}.

Art, 14/122, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: În △ABK\triangle ABK, A^=60°\widehat{A}=60\degree, K^=90°\widehat{K}=90\degree, rezultă B2^=30°,\widehat{B_2}=30\degree, deci putem afla arcul AE.AE.

Răspuns: AE⏠=AF⏠=60°\overgroup{AE}=\overgroup{AF}=60\degree; BD⏠=80°\overgroup{BD}=80\degree.

Soluție:


A^=180°−(50°+70°)=60°.\widehat{A}=180\degree-(50\degree+70\degree)=60\degree.
În △ABK\triangle ABK, A^=60°\widehat{A}=60\degree, K^=90°\widehat{K}=90\degree, rezultă B2^=30°\widehat{B_2}=30\degree, deci AE⏠=60°\boxed{\overgroup{AE}=60\degree}.

Analog pentru celelalte arce:
În △ACL\triangle ACL, A^=60°\widehat{A}=60\degree, L^=90°\widehat{L}=90\degree, rezultă C2^=30°\widehat{C_2}=30\degree, deci AF⏠=60°\boxed{\overgroup{AF}=60\degree}.
În △BAG\triangle BAG, B^=50°\widehat{B}=50\degree, G^=90°\widehat{G}=90\degree, rezultă A2^=40°\widehat{A_2}=40\degree, deci BD⏠=80°\boxed{\overgroup{BD}=80\degree}.

E.175. Pe cercul C\cal C(O,r)(O,r) se consideră, în această ordine, punctele AA, BB, CC, D.D. Notăm cu MM, NN, PP, QQ mijloacele arcelor AB⏠\overgroup{AB}, BC⏠\overgroup{BC}, CD⏠\overgroup{CD}, DA⏠\overgroup{DA}. Arătați că MP⊥NQ.MP \perp NQ.

Art, 18/122, **
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Se folosește formula unghiului cu vârful în interiorul cercului pentru a arăta că unghiurile QEP^\widehat{QEP} și QEM^\widehat{QEM} sunt egale.

Soluție:

QEP^=QP⏠+NM⏠2=QD⏠+DP⏠+NB⏠+BM⏠2.(1)\widehat{QEP}=\dfrac{\overgroup{QP}+\overgroup{NM}}{2}= \dfrac{\overgroup{QD}+\overgroup{DP} + \overgroup{NB}+\overgroup{BM}}{2}. \quad (1)

QEM^=QM⏠+NP⏠2=QA⏠+AM⏠+NC⏠+CP⏠2.(2)\widehat{QEM}=\dfrac{\overgroup{QM}+\overgroup{NP}}{2}= \dfrac{\overgroup{QA}+\overgroup{AM} + \overgroup{NC}+\overgroup{CP}}{2}. \quad (2)

Cum MM, NN, PP, QQ sunt mijloace, avem egalitățile QD⏠=QA⏠\overgroup{QD}=\overgroup{QA} și celelalte, deci QEP^=QEM^.\boxed{\widehat{QEP}=\widehat{QEM}}.
Dar QEP^+QEM^=180°.\widehat{QEP} + \widehat{QEM} = 180\degree. În concluzie QEP^=90°.\boxed{\widehat{QEP}=90\degree}.

E.176. Prin mijlocul MM al arcului AC⏠\overgroup {AC} al cercului circumscris triunghiului ABCABC se duce o coardă MNMN paralelă la AB.AB. Arătați că arcele BNC⏠\overgroup{BNC} și MCN⏠\overgroup{MCN} sunt congruente.

Art, 20/122, **
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt egale, deci BN⏠=AM⏠.\overgroup{BN}=\overgroup{AM}.

Soluție:


Cunoaștem că arcele cuprinse între două coarde paralele sunt egale, deci BN⏠=AM⏠.\overgroup{BN}=\overgroup{AM}.
Dar, din ipoteză, AM⏠=MC⏠,\overgroup{AM}=\overgroup{MC}, deci BN⏠=MC⏠.\boxed{\overgroup{BN}=\overgroup{MC}}.
Adunând la relația de mai sus arcul NC⏠\overgroup{NC} obținem BNC⏠=MCN⏠.\boxed{\overgroup{BNC}=\overgroup{MCN}}.

E.177. În cercul C\cal C(C,r)(C,r) se consideră coardele ABAB și CDCD concurente în P.P. Știind că O∈Int(∡APC)O \in Int(\measuredangle APC), ∡APC)=60°\measuredangle APC)=60\degree și ∡AOC)=100°\measuredangle AOC)=100\degree, determinați măsura arcului BD⏠.\overgroup{BD}.

Art, 23/123, ***
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Conform formulei pentru unghiul cu vârful în interiorul unui cerc, ∡APC=AC⏠+BD⏠2.\measuredangle{APC}=\dfrac{\overgroup{AC} + \overgroup{BD}}{2}.

Răspuns: BD⏠=20°\overgroup{BD}=20\degree.

Soluție:


Conform formulei pentru unghiul cu vârful în interiorul unui cerc, ∡APC=AC⏠+BD⏠2.\measuredangle{APC}=\dfrac{\overgroup{AC} + \overgroup{BD}}{2}.
Cum ∡APC=60°\measuredangle{APC}=60\degree și AC⏠=∡AOC=100°\overgroup{AC} = \measuredangle AOC = 100\degree, rezultă BD⏠=20°.\boxed{\overgroup{BD}=20\degree}.

Nume CreatLa (UTC)
Tema4-cls7: Unghi înscris în cerc 15-01-2024 10:25
Tema3-Unghi înscris în cerc 02-02-2025 16:10