Exercițiul 203

E.203. Teoremă. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Indicații (1) | Soluție

Indicații: Construim diametrul care pleacă din vârful unghiului și folosim faptul că măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale.

Soluție:


Considerăm cazul când centrul cercului se află în interiorul unghiului ABCABC. Construim diametrul BDBD și obținem triunghiurile isoscele OABOAB și OCB.OCB. AOD^=B1^+A^=2B1^⇒B1^=AOD^2.\widehat{AOD}=\widehat{B_1}+\widehat{A} = 2\widehat{B_1} \Rightarrow \boxed{\widehat{B_1}=\dfrac{\widehat{AOD}}{2}}. Analog, B2^=COD^2.\boxed{\widehat{B_2}=\dfrac{\widehat{COD}}{2}}. Însumând cele două relații obținem concluzia cerută: ABC^=AOC^2=AC⏠2.\boxed{\widehat{ABC}=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}=\dfrac{\overgroup{AC}}{2}}.
Analog se tratează cazul când centrul cercului se află în exteriorul unghiului ABCABC (în acest caz, în loc de sumă facem diferența dintre B1^\widehat{B_1} și B2^\widehat{B_2}).