Exercițiul 175

E.175. Pe cercul C\cal C(O,r)(O,r) se consideră, în această ordine, punctele AA, BB, CC, D.D. Notăm cu MM, NN, PP, QQ mijloacele arcelor AB⏠\overgroup{AB}, BC⏠\overgroup{BC}, CD⏠\overgroup{CD}, DA⏠\overgroup{DA}. Arătați că MP⊥NQ.MP \perp NQ.

Art, 18/122, **
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Se folosește formula unghiului cu vârful în interiorul cercului pentru a arăta că unghiurile QEP^\widehat{QEP} și QEM^\widehat{QEM} sunt egale.

Soluție:

QEP^=QP⏠+NM⏠2=QD⏠+DP⏠+NB⏠+BM⏠2.(1)\widehat{QEP}=\dfrac{\overgroup{QP}+\overgroup{NM}}{2}= \dfrac{\overgroup{QD}+\overgroup{DP} + \overgroup{NB}+\overgroup{BM}}{2}. \quad (1)

QEM^=QM⏠+NP⏠2=QA⏠+AM⏠+NC⏠+CP⏠2.(2)\widehat{QEM}=\dfrac{\overgroup{QM}+\overgroup{NP}}{2}= \dfrac{\overgroup{QA}+\overgroup{AM} + \overgroup{NC}+\overgroup{CP}}{2}. \quad (2)

Cum MM, NN, PP, QQ sunt mijloace, avem egalitățile QD⏠=QA⏠\overgroup{QD}=\overgroup{QA} și celelalte, deci QEP^=QEM^.\boxed{\widehat{QEP}=\widehat{QEM}}.
Dar QEP^+QEM^=180°.\widehat{QEP} + \widehat{QEM} = 180\degree. În concluzie QEP^=90°.\boxed{\widehat{QEP}=90\degree}.